Corollaire III. — Si dans l'équation

z2 -+- mx2 + njr? = k

on fait n = m, elle devient

22+ mi^ + r'i =k,

laquelle représente un sphéroïde elliptique formé par la révolution d'une ellipse dont l'équation serait

z2 -+- mu2= /»,

autour de l'axe des abscisses z; mais si m n'est pas égal à n, alors le solide sera un ellipsoïde dont toutes les coupes seront des ellipses. Dans l'un et dans l'autre cas l'attraction que le solide exerce sur un quelconque de ses points, parallèlement à l'un de ses trois axes, sera, par les Corollaires précédents, égale à celle qu'exercerait sur le point du même

DES SPHEROÏDES ELLIPTIQUES. G37

axe sur lequel tomberait une perpendiculaire menée du point attiré, un ellipsoïde semblable et semblablement situé, c'est-à-dire avant le même centre et les mêmes axes, et qui passerait par ce même point de l'axe. Et cette attraction sera toujours proportionnelle à la partie de l'axe comprise entre ce point et le centre du sphéroïde.

10. Corollaire IV. -- Il ne s'agit plus que de déterminer les valeurs des quantités B, F, G, c'est-à-dire des intégrales de ces formules

sin3/? cotfqdpdq s\n3p s\\\2qc/p(/q sinp cas2 pdp dq

N étant (6) égal à

cos-p -+■ m s'uVp cos2(] -+- n sin'/> sin-r/.

Pour y parvenir il convient de distinguer deux cas, suivant que m est égal à n ou non.

Supposons :

i° Qu'on ait m = n, ce qui est le cas d'un sphéroïde elliptique de révolution numéro précédent), on aura alors

N : COS1p + m s\\\'j>,

en sorte que l'angle q disparaîtra du dénominateur.

Qu'on intègre donc en premier lieu suivant q, et l'on trouvera que l'intégrale des trois formules précédentes, prise en sorte qu'elle soit nulle lorsque y = o, el complète lorsque y = i8o°, sera

s'm'pdp sin* pdp sinpcos'pdp

où l'on voit que les deux premières quantités sont les mêmes, en sorte qu'OD aura nécessairement B = F.

Pour pouvoir intégrer unv seconde l'ois en faisant varier />, on supposera COSp = 11, ce qui donne

et

%m*pdp i—ir du sinpcos'pdp u*du

Soit de

plus

- = u? et m

on aura

( u:1 — r- dt

dt

dt

m -+- [i — m i u2 ni y.3 i + P m y? i H /: mp?

el

u?du Pdt dt dt

m -r- { i — m u- mu?\ i -H- P m y.3 mu? i --- /

Or comme on doit intégrer ces formules en sorte que l'intégration commence lorsque p -- o et finisse lorsque p =i8o°, il faudra, à cause de t = au — [j.cos/?, faire en sorte que chaque intégrale soit nulle lorsque / = a, et complète lorsque t — — p.; c'est pourquoi on aura

r. r dt

l dt = t — u, I = arc langl — arc tan y u,

et faisant ensuite t = — p,

.,. . , r. î s'm3pdp

Donc I intégrale complète de — =^-^- sera

arc tan g p.

arc taneu.

mu* m 7/

et celle de — ^ sera

2 2aretangy.

donc enfin on aura

R F = ( - — arc tangu — ] X i8o°,

G = f-^-arCtangfXW36o°.

\ wi u: m [J? j

2° Soit n différent de m, ce qui est le cas où le solide est un ellipsoïde dont toutes les coupes sont des ellipses; dans ce cas le dénominateur N

contiendra l'angle q, et l'on ne pourra guère exécuter qu'une seule intégration, savoir celle qui se rapporte à l'angle p. Pour cela on remarquera que, comme dans cette intégration l'angle q est supposé constant,

,,. . , , ,,. j sin* pdp . , s'inp eos-pdp ,

on aura pour 1 intégrale complète de — ~— — et de — n les

mêmes expressions que ci-dessus, en y substituant simplement, à la plate de m, la quantité m cos2 q -+- ns\n-q, ou bien (en faisant n = m+ v) celle-ci, m -+- vsin2y. Dénotant donc ces valeurs par Q et Q', il n'y aura plus qu'à intégrer les différentielles

Q cos2qdq, QsirPqdq, Q'tfq,

en faisant varier q depuis q = o jusqu'à q-— i8o°; et l'on aura les valeurs cherchées de B, F, G.

1 1. Remarque. — M. Maclaurin, dans son Traité du flux et du reflux de la mer, s'est contenté de chercher l'attraction d'un sphéroïde elliptique sur un point quelconque de ce sphéroïde, et les résultats de sa belle méthode synthétique s'accordent parfaitement avec ceux que nous venons de trouver par l'Analyse. M. d'Alemberl vient d'étendre la solution de M. Maclaurin à des sphéroïdes où toutes les coupes seraient elliptiques, en faisant remarquer que les propositions qui servent de base à cette solution sont également vraies à l'égard de tous les sphéroïdes elliptiques, soit de révolution ou non : c'est ce que nous avons trouvé directement par notre Analyse dans les trois premiers Corollaires du Problème précédent. A l'égard de la valeur absolue de l'attraction des sphéroïdes qui ue sonl pas de révolution, M. d'Alemberl a essayé de la déterminer par différents moyens très-ingénieux, mais dont aucun ne lui a pleinement réussi. Un des plus simples parait être celui que nous avons employé dans le Corollaire IV, 2°; mais il est facile de se convaincre que les intégrations qui restenl à exécuter pour avoir les valeurs des constantes 15, F, (i échappent à toutes les méthodes connues jusqu'à présent.

Au reste, si le sphéroïde proposé différai! peu d'un sphéroïde de révolution, en sorte (pie v — m — ri fût une quantité très-petite, on pourrait

déterminer son attraction par approximation aussi exactement qu'on

voudrait. En effet, il n'y aura qu'à substituer m n sin-y au lieu de m dans les valeurs de

Q = — arc tangw.

et (le

— an. unip

i 2 arc tan g u

lu.- étant - — — j? et développer ensuite ces quantités suivant les puissances de v; ce qui changera la quantité Q en

Q -f- —, — vsin2<7 H -, — v'sin1*/ -4-. . .,

«w 2 uni1

et la quantité Q' en

™ <*Q' • ., ' rf2Q' . •

Q H — ; — v sm-fl h ; — v2siiro -)-...;

«m ' 2 dm- '

on multipliera maintenant la première de ces quantités par cos2qdq et par ?\n2qdq, et la seconde par «ty, et, prenant les intégrales en sorte qu'elles soient nulles lorsque q — o et complètes lorsque q = i8o°, on aura les valeurs cherchées des quantités 13, F, G. On aura donc de cette manière

»'/»/* v </Q 2v- i r/-'Q 5va i </3Q ibv* i <24Q \ 0

B -- ( — Q -+- — — — -*- — H — + — — — — 4- • • • ) I oo°,

\2 H dm 3-2 i dm? 12b 2.3 (/m 5i2 2.3.4 "'"''