PREMIÈRE PARTIE

Ces Recherches ont pour ohjet les nombres qui peuvent être représentés par la formule

Ht2 + Ctu -+- Dm-,

où B, C, D sont supposés des nombres entiers donnés, cl /, u des nombres aussi entiers, mais indéterminés. Je donnerai d'abord la manière de trouver toutes les différentes formes dont les diviseurs de ces sortes de nombres sont susceptibles; je donnerai ensuite une méthode pour réduire ces formes au plus petit nombre possible; je montrerai comment on en peut dresser des Tables pour la pratique, et je ferai voir l'usage de ces Tables dans la recherche des diviseurs des nombres. Je donnerai enfin la démonstration de plusieurs Théorèmes sur les nombres premiers de la même forme B/2 + C^ + Dk2, dont quelques-uns sont déjà connus, mais n'ont pas encore été démontrés, et dont les autres sont entièrement nouveaux.

1 . Avertissement. — On suppose toujours dans la suite que toutes les lettres désignent des nombres entiers positifs OU négatifs, et l'on représentera ordinairement par les premières lettres de l'alphabet les nombres donnés, et par les dernières les nombres indéterminés.

(*) La première Partie de ce Mémoire a été insérée dans le volume de 177 i. la second) Partie dans le volume de 1 7 7 r> . Vote de l'Éditeur.

2. Observation. — La formule du premier degré B* -l- Cm, où B et C sont des nombres quelconques donnés et premiers entre eux, peut représenter un nombre quelconque; mais il n'en est pas de même de la formule du second degré lit2-\- Ctu ■+- Dm2; car nous avons prouvé ailleurs \ voyez les Mémoires de l'Académie pour les années i 767 et 1 768 (*)] que

l'équation

est toujours résoluble eu nombres entiers, quels que soient les nombres A, B, C, pourvu que les deux derniers soient premiers entre eux; mais que l'équation

ne l'est que dans certains cas, et lorsque certaines conditions ont lieu entre les nombres donnés A, B, C, D. On doit dire la même chose, à plus forte raison, des formules du troisième degré et au delà.

3, Scolie. — Il y a donc une grande différence entre les formules du premier degré et celles des degrés supérieurs, celles-là pouvant représenter tous les nombres possibles, au lieu que celles-ci ne peuvent représenter que certains nombres qui doivent être distingués de tous les autres par des caractères particuliers. De très-grands Géomètres ont déjà considéré les propriétés des nombres qui peuvent être représentés par quelques-unes des formules du second degré ou des degrés ultérieurs, comme celles-ci

{Voyez les Ouvrages de M. Fermât et les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, t. I, IV, V, VI, VIII). Mais personne, que je sache, n'a encore traité cette matière d'une manière directe et générale, ni donné des règles pour trouver à priori les principales propriétés des nombres qui peuvent se rapporter à des formules quelconques données.

Comme ce sujet est un des plus curieux de l'Arithmétique, et qu'il mérite particulièrement l'attention des Géomètres par les grandes diffi-

* I OEiwres de La grange, t. Il, p. 377 et 655.

I) VRITHMÉTIQUE. 697

cultes qu'il renferme, je vais tâcher de la traiter plus à fond qu'on ne l'a encore fait; mais je me bornerai pour le présent aux formules du second degré, et je commencerai par examiner quelle doit être la forme des diviseurs des nombres qui peuvent être exprimés par ces sortes de formules.

Théorème I.

Y. Si le nombre A est un diviseur d'un nombre représenté par lu formule

en supposant t et u premiers entre eux, je dis que ce nombre A sera nécessairement de la forme

\ L^ + Msx + Nx', où l'on aura