III

ce qui, étant substitué, donnera

Ac- iE02+ C9 + \)b) 52-t- {7.E6c + Cc)sx-h Ec'x1,

de sorte qu'il faudra que le nombre (E0- f- C5 -h D&j*2 soit divisible parc; et comme c et s sont premiers entre eux, il faudra que EO2 -+- C5 -f- DZ> soit divisible par c; donc divisant toute l'équation par c, et faisant

L= —, M = ?.E0-hC, N = Ec,

on aura

A = L'*2+ Msx + Ni!.

Or 4LN — M2 sera égal à

4E( EÔ2 + C0 + Bb) — (2EÔ -f C)2 = 4ED6 - C2 = 4BD — (?,

à cause de B = Eb. Donc, etc.

Maintenant, comme t et u sont premiers entre eux (hypothèse), /et 5 le seront aussi, à cause de u = bs; mais si x et s n'étaient pas premiers entre eux, il est clair que t devrait être divisible par leur plus grande commune mesure, à cause de t — Qs-{-cx; ce qui ne pouvant être, il s'ensuit que x et s seront nécessairement premiers entre eux si t et u le sont.

Théorème II.