Soit une équation d'un degré quelconque

( A ) o = a — bx -+- ex2 — dx3 -+-...,

dont les racines soient p, q, r, ...; on aura, par la théorie connue des équations,

( fi ) a — bx-+- ex2 — dx3 -t- . . . = a (i— — j ( i — — j ( i -

Donc, en divisant par a, on aura

bx — ex2 -+- dxs — ... / x \ / x \ / x

et, prenant les logarithmes de part et d'autre,

/ bx — ex2 -h dx* — . . . \ , / x \ , [ x\ , ( x l°Z[l a )=log^--j+log^--j+log^--

Or, on a, en général,

Iog(i — «) = — «— -— j — ...;

donc

log(,-^+log(i-|)+log(i-^+...

Donc, si l'on développe la quantité

, / bx — ex2 -+- dx3 — . . . \ -log^,- — j

t'ii une série de cette forme

Ax -+- Bx2+ Cr3 + . . ., on aura

•1. Puisqu'on suppose

, / bx — ex2 -+- dx3 — . . . \ — log ( i — \x -f B.T1 -+- Car* + . . .,

un aura, en prenant les différentielles de pari el d'antre el divisant parr/.r

b - ■?, ex 4- 3 dx7 — ...

«-W + CX7 - 'Ir

d'où, en multipliant en croix et comparant les termes, on tire

„ \b — ne nB =

n.Bb — Ac-hid

et ainsi de suite; ce qui donne les formules connues de Newton.

De cette manière on ne peut déterminer chaque coefficient qu'à l'aide de tous les coefficients précédents; mais si l'on voulait avoir tout de suite l'expression du coefficient d'une puissance quelconque x'n, coefficient que nous appellerons M, et qui sera par conséquent égal à

p"1 qm r'" ~*~ ' "

on pourra s'y prendre de la manière suivante.