On considérera que

/ bx — ex2 -+- dx3 — ... \ ( bx \ . T — cx2+dx3

log(i- — — )=Iog(i-T )+log .- -j—fc

Soit, pour abréger,

— ex- -+- dx3 — ...

en sorte que l'on ait

/ bx — ex'1 -+- dx3 — — \ , / bx log i — — - — log

[— ex2 -h dx'

bx a

Donc, réduisant ces deux derniers logarithmes en série, on aura bx — ex2 -4- dx3 — . ,

— log [ i -

a bx b2x2 b3x3 X X \3

a id' 3 a3 bx I bx\2 „ / bx

A -+- Bx + Cx2 + . . . + Mxm-\-

Or, on sait que

i bx b2x2 b3x3

bx a

?.bx Sb'x2 ^b3x3

i / -y. . 3 . bx l>.L.b2x2 4 . 5 . b3 x*

bx \3 ■>. \ a a2 a3

et ainsi de suite.

Donc, si l'on suppose, pour plus de simplicité,

X = oc x1 -+- a.y x3 -4- a2 x4 -I- . . . , X2 = (3 X4 + (3, #s -4- (32 «• + ...,

XI = y jf6 4- yt a:' -+- y, x8 -4- . . . ,

il est facile de voir que le coefficient de la puissance x'" dans la quantité

— — j-i développée suivant les puissances de .r, sera représenté par

que celui de la même puissance .7'" dans la quantité — j— . - sera

(m-3)(3^V < + f/»-4)pi(^'" +...4 3„ 1

et que, dans la quantité

» Il scia

- . J ( /n - 4 ) ( m — r> j y ( - ) 4- (m - 5)(/n — 6)y, I - J -4- ... -♦ 1 . •» . ym, ,

et ainsi des autres.

De là il s'ensuit qu'on aura

al- + a, -

-^ (m — 4)(m — 5)yf-j + (m — 5){m — 6)y, /-j + ...+I. 2.y„,(;

Donc, puisque

on aura, en général,

m (m — 3 ) ft ^ 6 \ ",< t m (m — 4 ) a l ^

/«(m — 4)(m — 5) / b\'n"1 m (m — 5)(/» — 6) /ÔX'"-1

/h (w; — 5)(m — 6) (m — l) $ ( b\m~* '»(m — 6)(/» — rj)(/n — 8)^ /b\'"-" m,