Corollaire. — Si l'on multiplie la formule

py-2± iqyz + rz2 par/?, elle pourra se mettre sous cette forme

{pf±qz)2+{pr — q2)z2, c'est-à-dire (à cause de pr = a -+- q2) sous celle-ci

/>>' dz qz 2 -+- az2,

qui est la même que celle de la formule t'-^-au2. D'où il s'ensuit que tout diviseur d'un nombre de la forme £2-h au2 sera aussi nécessairement de la même forme si p n'a d'autres valeurs que l'unité, ou le deviendra étant multiplié par une des valeurs de p s'il y en a plusieurs. On prouvera de même que les formules

py2 ± 7 qyz — rz2, — py2 zh iq yz -+- rz2 étant multipliées par/? deviendront, à cause de pr = a — q2,

py ±qzf—az2, — (py ± qz f + a z2.

De sorte que tout diviseur d'un nombre de la forme t2 —-au2 ou au2 — l2 sera nécessairement de l'une ou de l'autre de ces deux formes si p n'est que l'unité, ou bien le deviendra toujours étant multiplié par une des valeurs de p s'il y en a plus d'une.

THÉORÈMES SUR LES DIVISEURS DES NOMBRES DE LA. FORME t2^i-au2, t ET II ÉTANT SUPPOSÉS PREMIERS ENTRE EUX.

18. I. Soit a = i , donc q non plus grand que l/ôî doue q o, pr = i ; donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

t1 -+- M2 sont nécessairement renfermés dans la formule

c'est-à-dire que : Tout diviseur d'un nombre égal à la somme de deux canes

est aussi lu somr/K de deux carrés.

[1. Soit a = a, donc q non plus grand que \, ,• donc q o,pr= >: donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

t2 -t- lit2

sont renfermés dans la formule

y2 -f- zz2;

c'est-à-dire que : Tout diviseur d'un nombre égala la somme d'un carré et d'un double carré est aussi la somme d'un carré et d'un double carré.

III. Soit a = 3, donc^r non plus grand que i/- =i; donc q = o ou = i . Faisant q = o, on aura pr= 3, donc

p = i, / = 3; ensuite faisant q = i , on aura

pr= 3 + i = 4; donc, comme ni /? ni r ne doivent être < 2q, on aura

Donc les diviseurs des nombres de la forme

seront renfermés dans ces deux formules

y1-\-Zz2, ,xy1±iyz -+- iz2.

Or comme la seconde de ces formules ne peut appartenir qu'à des nombres pairs, étant toute divisible par i, il s'ensuit que tout diviseur impair de

sera nécessairement renfermé dans la formule

c'est-à-dire que : Tout diviseur impair d'un nombre qui est la somme d'un

carré et d'un triple carré premiers entre eux, est aussi la somme d'un carré et d'un triple carré.

Au reste, comme il suffit de considérer les diviseurs impairs, nous ferons toujours abstraction, dans la suite, des formules qui ne pourraient convenir qu'à des diviseurs pairs; c'est pourquoi nous rejetterons toutes les valeurs de p et r qui seraient paires à la fois.

IV. Soit a = 4, donc q non plus grand que \/%; donc q = o ou = i . Faisant q = o, on a pr = 4; donc

car nous rejetons les valeurs p = 2, r= 2, parce qu'elles sont toutes deux paires); faisant q=i, on a pr = 5; donc

ce qui doit être rejeté à cause que p serait < iq. Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

l- + 4 u2 seront aussi de la forme