KM
V. Soit a = 5, donc q non plus grand que 1/ .-; donc q o ou = 1 .
faisant q = o, on a />/• = 5, donc
p = i , r = 5 ; et faisant çr — 1 , on a /?/• = 6, donc
Donc les diviseurs des nombres de la forme
/ I rw/!
sonl nécessairement de l'une ou de l'autre de ces formes-ci
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles sont toujours (17) de la forme t2 -h 5u2.
VI. Soit a — 6, donc ^ non plus grand que \J ->■> donc <y — o ou = i . Faisant q — o, on aura pr = 6; donc
p=i, r=z6, ou p = 2, /=3;
faisant q = i , on aura pr — 7, donc
ce qui doit être rejeté parce que p serait < 2^. Donc les diviseurs des nombres de la forme
t- -+- 6 if-
seront de l'une ou de l'autre de ces formes
r: + 6z:, ly* + 3z2;
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles seront de la même forme t2 + 6a2.
VII. Soit a = 7, donc q non plus grand que i/ii donc y = 0 ou = 1 . Faisant q = o, on aura pr = 7 ; donc
/> = !, q = r, faisant q = 1 , on aura />r= 8; donc
ce qui ne peut convenir qu'aux diviseurs pairs.
Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme
sont nécessairement aussi de la forme
VIII. Soit a= 8, donc q non plus grand que V/^i donc ^ = o ou = i . Faisant q — o, on aura pr = 8; donc
cl l'on rejettera les valeurs p — 2, r = 4 comme ne pouvant appartenir qu'à des diviseurs pairs; faisant ensuite q = r, on aura /?/■= 9; donc
yj = 3, r= 3.
Donc les diviseurs des nombres de la forme
l1^- Su-
sont de l'une ou de l'autre de ces formes
y- + 8z\ 3y2±2fz 4-3.2';
de sorte (juc ces diviseurs eux-mêmes, ou leurs triples, seront toujours
de la même forme
1* +■ Su2.
IX. Soit a = 9, donc q non plus grand que i/lî donc q = o ou — 1 . Faisant q = o, on aura pr = 9; donc
p = ï, ''=9. ou p - 3, /=^3;
faisant q = i, on aura pr= ro; donc
Donc les diviseurs des nombres de la forme
sont nécessairement de rime de ces trois formes
1 +yz\ -irM 3;% ■». >■- t tyz l 5z»;
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes, OU leurs doubles ou leurs triples,
pourront toujours se rapporter ii la même forme 11 1 <)it2.
X. Soit a = 10, donc q non plus grand que 1/ ~; donc ^--oou = i . Faisant q = o, on aura /?r = 10; donc
p=i, r=io, ou p = i, r = 5;
faisant <y = r , on aura />/* = 1 1 ; donc
p = i, r = ii,
ce qui n'est point admissible à cause quep serait < iq. Donc les diviseurs des nombres de la forme
/!+ IOH!
sont toujours de l'une de ces formes
y--t-ioz2, iy- -t- 5z-;
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles seront nécessairement de la même forme
t2 -+- IO«!.
XI. Soit a = ii, donc q non plus grand que 1/-^-; donc 9 = 0011 =1. Faisant q = o, on a /v = 1 1 ; donc
faisant q=n, on a pr= 12; donc
jo — 3, ^ = 4;
car les valeurs /> = 2 et r = 6 sont à rejeter à cause qu'elles ne conviendraient qu'aux diviseurs pairs.
Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme
t* -+- 1 1 ir
sont de l'une ou de l'autre de ces formes
y -t- 1 1 z-, 3jr' ± iyz -h 4-S" ;
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs triples seront toujours de la même forme
XII. Soit a = 12, donc q non plus grand que y ^ — 2; donc q = o ou = 1 ou — 2. Faisant q = o, on aura /?r = 12; donc
p=i, r=2, ou p = 3, /"4.
en rejetant les valeurs /j = 2, r = 2, qui ne conviendraient qu'aux diviseurs pairs; faisant q = 1, on aura /?/* = i3; donc
ce qui doit être rejeté à cause que p serait <2^; faisant q = 2, on aura />/■= 12 h- 4 = »G; donc
(car, à cause de q = 2, p ne doit pas être •< l\), ce qui doit être rejeté si l'on ne considère que les diviseurs impairs.
Donc les diviseurs impairs des nombres de la formule
sont de l'une ou de l'autre de ces formes
de suite que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs triples seront de la même
forme
Nous n'étendrons pas ces Recherches plus loin, d'autant que les Exemples que nous venons de donner sont pins que suffisants pour montrer l'application de nos méthodes el pour mettre sur la voie ceux qui voudront en faire usage pour découvrir de nouveaux Théorèmes sur la forme des diviseurs des nombres i1 1 au*.
