III
19. Remarque. — Les trois premiers Théorèmes sonl connus depuis longtemps des Géomètres, et sont dus, je crois, à M. Fermât; m;iis M. Euler est le premier qui les ait démontrés. On peut voir les démonstrations de ce dernier dans les tomes IV, VI et VIII des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg. Sa méthode est totalement différente de la nôtre, et elle n'est d'ailleurs applicable qu'aux cas où le nombre a ne surpasse pas 3; c'est ce qui a peut-être empêché ce grand Géomètre de pousser plus loin ses recherches sur ce sujet.
A l'égard des Théorèmes qu'il avait déjà donnés auparavant sans démonstration dans le tome XIV des anciens Commentaires, il est vraisemblable qu'il ne les a trouvés que par induction, d'autant qu'il n'en a l'ait aucune mention dans les tomes cités des Nouveaux Commentaires, où il a même remarqué que ses démonstrations ne pouvaient s'étendre à d'autres nombres qu'à ceux de la tonne t2-i-u-, t- -+- iir et /'--+- 3u'- (tome VI, page 21 4 )■
TlIÉOREMES SUR LES DIVISEURS DES NOMBRES DE LA FORME t' — ail2 OU au2 — t2, t ET U ÉTANT SUPPOSÉS PREMIERS ENTRE EUX.
20. I. Soit «— 1 , donc q non plus grand que l/ri donc q = o, pr = 1;
donc
Donc les diviseurs des nombres de la forme
/-' — lisant de la forme
par conséquent ( 14) tout nombre est réductible à cette forme
c'est ce qu'on sait d'ailleurs.
II. Soit a = 2, donc q non plus grand que y/ T\ donc q = o, pr = 2;
donc
p = r , /• = 2 ; de sorte que les formes des diviseurs de
t2 — 2 M2 OU 2 M2 - /•'
seront
y2 — iz2 ou 2Z2— )*;
mais je remarque que ces deux formes reviennent à la même; car faisant
ce qui donne y= 2s — y et z = y — z, et par conséquent des valeurs entières pour y' et z'), la formule j2 — 2^2 devient s?;'2— y'2. Donc les diviseurs des nombres de la forme
t2 — 2 M2 ou 2 m2 — t2
sont nécessairement de l'une et de l'autre de ces formes
III. Soit a = 3, donc q non plus grand que \ r- àonc q = o,pr = ï;
Donc les diviseurs des nombres de la forme
*'— 3«J ou 3«2 < sonl de l'une ou de l'autre de ces deux formes
IV. Soit «r- 4, donc r/ non plus grand que i/|i donc q o, /;/• i:
donc
p=i, r — 4, ou p = 2, r 2.
Donc les diviseurs des nombres de la forme
/2- {//• ou 4M'— '3
71(j RECHERCHES
seront nécessairement renfermés dans les formules
par conséquent ( 14) tout nombre quelconque sera de l'une de ces formes. Au reste, nous pouvons faire abstraction des formes qui ne sauraient convenir qu'à des diviseurs pairs, telles que celle-ci iy2 — iz-\ ainsi nous rejetterons dans la suite, comme nous l'avons déjà fait plus haut, les valeurs dep et de r qui se trouveront paires en même temps.
V. Soit a = 5, donc q non plus grand que t /■= = i ; donc q = o ou = i . Faisant q = o, on a pr = 5 ; donc
faisant q = i, on aurait />/ — 4; de sorte qu'à cause que /j et /• doivent n'être pas < 2q, on ne pourrait faire que
mais nous rejetterons ces valeurs à cause qu'elles sont toutes deux paires; ainsi l'on n'aura que ces deux formes de diviseurs
J2 5Z2 el 522>.2>
lesquelles se réduisent d'ailleurs à la même, comme on peut s'en convaincre en faisant
j-= 2J-' H- 5z' et 2=j' + 22'
(ce qui donnerait z = y — 2z et y' = 5z — 2y, et par conséquent des valeurs entières pour y' et z') dans la formule j2— oz2, laquelle deviendra par ces substitutions celle-ci, 5z'2 — y'2.
Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme
P—5u2 ou 5 m2—/2
sont en même temps de chacune de ces deux formes
VI. Soit a = 6, donc q non plus grand que \l ^ donc g = o ou = i . Faisant q = o, on aura /?/' = (3; donc
p = i, r = 6, ou p = i, r = 3;
faisant ensuite q = i, on aura pr = 5, ce qui ne donnerait que
valeurs qui ne sont point admissibles à cause que p serait <2</; de sorte que les formules des diviseurs des nombres de la forme
