V- — 6 h2 ou 6u- — P
seront
y2 — 6z2, 6z2 — y2, iy2 — 3z2, 3z'2 — ■?.)■-.
Mais j'observe que ces dernières se réduisent aux deux premières en faisant
2jr-\-3z—y', y + z = z',
ce qui donne
el par conséquent
zy*~ lz* = 6z" — y", 3z2— 7.yi — y'i— 6z'\
Donc les diviseurs des nombres de la forme
t2 — 6m2 ou (>«' /
seront toujours aussi de l'une ou de l'autre de ces formes.
VII. Soit a = 7, donc q non plus grand que 1 1 ~ \\ donc q o ou = 1 . faisant y <>, on aura pv = 7; donc
el faisant q 1, on aura />/ (>\ donc
de sorte que les formules des divise lus de
seront
y- — 7 z2, 2y-zi: ?.yz — 7 z2
et leurs inverses
7 z' — y2, 7 z2 zh n.yz — zy*.
Mais je remarque ici que les deux premières de ces formules reviennent à la même, aussi bien que les deux dernières; car faisant
y — y' — 2.z' et dzz=:y' — 3z'
(ce qui donne y' = 3v=f 2z et z'^j + s, c'est-à-dire des nombres entiers pour y' et z'), la formule
iy2dz 2yz — 3z2 deviendra
et la formule
3z2qz 2 yz — 2f!
deviendra de même
D'où il s'ensuit que les diviseurs des nombres de la forme
t2 — 7 u2 ou 7 «2 — /:
seront nécessairement aussi de la forme
y2 — 7 z2 ou 72- — r:.
VIII. Soit a = 8, donc y non plus grand que \/ ■?'•> donc 7 — o ou = 1 . Faisant q = 0, on aura pr = 8 ; donc
p=i, /- = 8, ou p = 2, >' = 4;
mais ces dernières valeurs peuvent être rejetées à cause qu'elles sont
foutes deux paires; faisant ensuite q — i, on aura pr=-], ce qui ne donnerait que
pz= i et r=7,
valeurs qui ne sont point admissibles a cause que p serait < iq. Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme
l2 — 8u2 ou 8 m2— t\
seront de l'une ou de l'autre de ces deux formes
y2 — 8z2 ou 8z2 — y2.
IX. Soit a = 9, donc y non plus grand que \/%\ donc y = o ou = 1. Faisant q = o, on aura /?/• — 9; donc
p = i, '=9> ou p='6, /— 3;
et faisant y — 1 , on aura /?r = 8, ce qui, à cause de /; non plus petit que
2<y, donnerait
valeurs qu'on peut rejeter à cause qu'elles sont l'une et l'autre paires. Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme
t2 — 9 m- ou 9«s — /*
seront toujours de quelqu'une de ces formes
y1 — gz1, 92' — j», 1y> — 3s2;
par conséquent liy tout nombre quelconque impair sera réductible à
l'une de ces formes.
\. Soil <v 10, douce/ non plus grand que V ' .." \ 2; donc y o
ou = 1 . Faisant q =0, on aura pi to; donc
/; 1, /• 10, ou j> \ 1
faisant q = 1 , on aura pr == 9; donc
p = 3, /• = 3 ; de sorte que les formules des diviseurs de
t'1 — IOK'
seront
y2 — I022, I022 — )•% 2^,: — 5z2, 5z2 — 2J1, 3}',2±2Ji — iz.
(Dr je remarque d'abord que cette dernière formule peut se réduire à ces
deux-ci
en faisant
dzr = y' + z', z =y' -4- 2Z'
ou
ce qui donne toujours pour j' et s' des nombres entiers; je remarque ensuite que les deux formules
y2 — ioz2, ioz- — y7
peuvent aussi se réduire à la même en faisant dans la première
y = ioz'-f- 3j', z = 3z'-hy',
ce qui la transformera en ioz'2- y'2; et quant aux nombres y' el z' il est clair qu'ils seront toujours entiers, puisque l'on aura
z'=y — 3z, y'=.ioz — 3).
De là je conclus que les diviseurs des nombres de la forme
t1 — IO H2 OU IO M2 — t1
seront toujours de l'une ou de l'autre de ces deux formes
y'1 — îoz2, iy2 — 5z2, aussi bien que de celles-ci
XI. Soit a = i.if donc y non plus grand que V/V- donc</ = o 011*7= 1. Faisant q = o, on aura pr = 11; donc
faisant q= 1, on a />r= 10; donc
De sorte que les formules des diviseurs seront, dans ce cas,
Mais je remarque que ces deux dernières formules peuvent se réduire aux deux premières; car en faisant
ce qui donne z'= ± y — r. et y' = 4Z=F 3y, et par conséquent toujours des nombres entiers pour r' et z'), la formule
devient
et la formule
5z2 qz 2 rz — 2 r!
devient de même
>•'• - 1 iz'2.
D'où il s'ensuit que les diviseurs des nombres de la forme
/• — 1 1 u-, ii»2— P Boni toujours de l'une OU de l'autre de ces formes
XII. Soit a ■■ 12, donc q non plus grand que i/ -=-•, donc ^= o ou t. Faisant 7 o, on aura/ir = 12; donc
/< 1, r=i 2, ou /» >. / j, III. ..•
en rejetant les valeurs paires/?— 2 et r = 6; faisant ensuite q = i, on aurait pr = 1 1; donc
valeurs qui ne sont point admissibles à cause que p serait < 27; ainsi l'on n'aura que ces formules
sur lesquelles je remarque que les deux dernières sont réductibles aux deux premières, en faisant
r=ir'
et
ce qui donne y' ~y — z et z' = [\z — 3/, et par conséquent des valeurs entières pour y' et z.
D'où l'on peut conclure que les diviseurs impairs des nombres de la forme
P — 17.lt- OU 11 II2 — t\
seront toujours de l'une ou de l'autre de ces deux formes
y2— \iz>, 11 z2 — y3, aussi bien que de ces deux-ci
3jJ — 4z2, 4*2— Zy\
21. Remarque. - Telle est la méthode qu'il faudra suivre pour trouver les formules des diviseurs des nombres de la forme
P — au- ou au- — /-,
en donnant à a des valeurs quelconques au delà de 12; celte méthode est, comme on voit, d'un usage très-facile et très-simple; mais elle parait sujette à une espèce d'inconvénient, c'est qu'elle donne quelquefois plus de formules qu'il n'en faut pour représenter tous les diviseurs des nombres d'une forme donnée; de sorte qu'il arrive que quelques-unes de ces formules reviennent à la même, comme nous l'avons vu dans les Exemples précédents. Pour y remédier il faudrait donc avoir une règle
générale par laquelle on put reconnaître facilement les formules qui sonl identiques entre elles: c'est ce que nous allons examiner, avec. toute la généralité dont la matière est susceptible; et comme il n'est pas démontré jusqu'ici que cette identité de foi-mules ne puisse avoir lieu dans les diviseurs des nombres de la forme Js+ao2, quoique les différents cas du n° 18 n'en fournissent aucun exemple, pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, nous considérerons également les formules de l'une el de l'autre espèce.
Problème III.
