Etant donnée l' expression

py*±rz*,

où p et r sont des nombres entiers donnés, et y, z des nombres entiers indéterminés, on propose de la réduire à la forme

4 an -+- h,

a étant égal à pr, b étant un nombre positif ou négatif, égal ou moindre que 2a , et n un nombre entier indéterminé .

Il est clair que, quels que soient les nombres v et z, on peut toujours les représenter par les formules imr±(j et imp ± tz, m, m', p et w étant des nombres entiers indétermines; il est visible de plus qu'on pourra toujours prendre les nombres m, m' avec les signes des nombres p et w, en sorte que ces derniers soient l'un, savoir p, moindre ou au moins non plus grand que r, et l'autre, savoir zs, non plus grand que p.

Qu'on substitue donc ces valeurs dans l'expression p v2 ± rz2, elle

deviendra, à cause de pr = a,

^a\m2r± mp ± [m"p ± m' m)] -+- pp2 ± rm*', d'où l'on voit que la réduction proposée aura lieu en faisan l

l> = pp2 ± rtrs\

et prenant successivement pour rs tous les nombres entiers jusqu'à p, et pour p tous les nombres entiers jusqu'à /•; et il est clair que les valeurs de b qu'on trouvera de cette manière pourront être augmentées ou diminuées de tels multiples de l\a qu'on voudra; moyennant quoi on pourra toujours réduire ces valeurs à être au-dessous, ou au moins à n'être pas plus grandes que ia\ pour cela il n'y aura qu'à diviser d'abord b par l\a, et si le reste est égal ou moindre que 2a, on le prendra pour la vraie valeur de b; mais si ce reste est plus grand que ia, on en retranchera l\a, et l'on aura un reste qui sera nécessairement moindre que 2a, et qu'on prendra à la place de b.

30. Corollaire. — Il est clair que si l'on change en même temps les signes des nombres p et r, la valeur b devra aussi changer de signe; par conséquent, si \an -h b est la forme des nombres py- — rz2, on aura sur-le-champ l\an—b pour celle des nombres rz2 — py2, les valeurs de b étant les mêmes.

31. Remarqi e. — Si l'on ne veut considérer que les nombres impairs qui peuvenl être représentés parla formule py2 ± rz2, lorsque p et rne

sont pas pairs à la fois, il faudra dans ce cas rejeter toutes les valeurs paires de A, et ne prendre par conséquent à la l'ois pour v, et a que des nombres qui rendent l'une des quantités pp2, ris2, paire et l'autre impaire.

Si l'on voulait de plus ne considérer «pie les nombres qui seraient premiers 1 a ■= pr, il faudrait encore rejeter .toutes les valeurs de b qui ne seraient pas premières à p ou à /•; et il est visible qu'il ne faudrait prendre alors pour ^ que des nombres moindres que /> et premiers a /;. ci pour -, que nombres moindres que ret premiers a r.