III

Problème VI.

■\'l. Etant donnée l'expression

py2 -+- iqyz ± rz2,

où p, q, r sont des nombres entiers donnés dont le premier ou le dernierest supposé impair, et y, z des nombres entiers indéterminés ; on propose

de la ramener à la forme

en supposant a=przpq2, b un nombre entier positif ou négatif qui ne soit pas plus grand que 2a, et n un nombre entier indéterminé.

Supposons d'abord que/; soit un nombre impair, et taisant l'expression proposée égale à X, en sorte que l'on ait

py2 -4- iqyz ± rz1 = X,

qu'on multiplie cette équation par/;, elle deviendra

pX = [py -+- qz)'2 ± az2,

à cause de a =pr-pq3 (hypothèse), ou bien en faisant py -h qz = v ',

pX = j'2± az2.

Maintenant supposons, en général, que la plus grande commune mesure de a et p soit//c2, p' étant un nombre non carré ni divisible par aucun carré; et faisant

il est clair que P et r seront premiers entre eux, et que l'équation

a=przpq2,

devenant

r'p'c2— P r p'c2^zq2,

ne pourra subsister en nombres entiers à moins que q ne soit divisible

par p'c; ainsi l'on aura

DWRITHMÉTIQUE. 703

et divisant toute l'équation parjo'c2, il viendra

r' — Vrzrq'2]/,

où je remarque que P sera nécessairement premier à //; car si ces deux nombres avaient une commune mesure autre que l'unité, il faudrait que le nombre r' lût aussi divisible par cette commune mesure; ainsi P et r' ne seraient plus premiers entre eux contre l'hypothèse. Donc P sera en même temps premier à p' et à r' , et par conséquent aussi à p'r'.

Gela pose, puisque p-ei q sont divisibles à la l'ois par //r, il est clair que v' le sera aussi, de sorte qu'on aura

y ' — p'cx,

et l'équation

pX=y'I±:az1,

étant toute divisée par//<r, deviendra

l'\ ji'.i ■ r'z1.

Or faisant p'r'=a', ou pourra réduire, par le Problème précèdent, l'expression //.*•- r'z* à la forme '\à n -h h', où n sera un nombre entier indéterminé, et b' aura des valeurs connues. Qu'on mette Y à la place de n, et l'on aura l'équation

laquelle devra avoir lieu en prenant pour \ et Y des nombres entiers, et qu'on pourra, par conséquent, résoudre par les méthodes connues. Voyez l< Mémoires de celle Académie pour l'année i 7(><S (*).

Or. comme on suppose que /> est impair, il est clair que P, qui est un facteur de p, sera aussi impair; par conséquent Pet \a' seront premiers entre eux, puisqu'on a déjà prouvé que l'est premier ;i a' = p'r'; ainsi l'équation proposée sera toujours résoluble, quelques valeurs qu'on donne ;i // .

Qu'on divise \a' par I*. puis P par le premier reste, puis le premier

Of.iirrrs ili Lagra/tgr, I II |' li'i'i

reste par le second reste et ainsi de suite, jusqu'à ce que la division se fasse exactement, et nommant /, /', /", /"', ... les quotients provenant de ces divisions, on en formera les fractions convergentes

IM

ll'-hl

dont la dernière sera la fraction même -t—i et l'avant-dernière, que nous

désignerons par ^, sera telle que aV — l\fia' = ± i, le signe supérieur

étant pour le cas où le quantième de la fraction ^ est impair, et l'inférieur pour celui où ce quantième est pair. Cela fait, on aura, en général,

ri étant un nombre quelconque entier.

Telle sera donc la forme de l'expression proposée X; d'où l'on voit que le Problème serait résolu si a' était égal à a; ce qui a lieu lorsque c = i, c'est-à-dire lorsque la plus grande commune mesure entre/) et « n'est divisible par aucun carré. Dans ce cas il n'y aura donc qu'à prendre b = ± c/.b' , en ajoutant ou retranchant de cette valeur, s'il est nécessaire, un multiple de l\a tel, que la valeur résultante de b ne surpasse pas ia, comme on l'a dit dans le Problème précédent.

Mais, si c n'est pas égal à i, alors, pour réduire la valeur de X à la

forme

4«/i -4- b ou [\a' cln -+- b

{a étant égal à a'c2), on remarquera que, quel que soit le nombre entier ri, on pourra toujours le représenter par c2n -+- y, en prenant y<c-; ainsi, substituant cette valeur dans l'expression de X, on aura

X = 4«« ± <xb' -+- ^a'y.

C'est pourquoi il n'y aura qu'à prendre

6 = ± ocb' -t- ^a'y,

en donnant successivement à y les valeurs o, i, 2,... jusqu'à c2 — 1.

Si les nombres p et a sont premiers entre eux, la solution sera plus simple, car on aura non-seulement c = i , mais aussi p'=i, et de là r'= a.

Nous avons supposé jusqu'ici que/? était impair; mais si p était pair et r impair, il n'y aurait alors qu'à prendre la valeur de r à la place de celle de p, et si dans la formule

Pf* -+- zqyz ± rz-

le signe supérieur a lieu, il n'y aura aucun changement à faire aux valeurs de b trouvées d'après cette valeur; mais si c'est le signe inférieur qui a lieu, il n'y aura qu'à prendre les valeurs de b avec des signes contraires; ce qui est évident par la nature même de la formule dont il s'agit. A l'égard du cas où p et r seraient pairs à la fois, nous pouvons en faire abstraction, puisque dans ce cas l'expression

py2 -+- ?.</ yz ± rz-

ne donnerait que des nombres pairs.

33. Par l'application des méthodes précédentes on pourra donc construire deux nouvelles Tables correspondantes à celles du n"28, et qui donnent pour chaque valeur de a et de p les valeurs convenables de b, en sorte qu'étant proposé un nombre de la forme /-' + air ou t"1 — au2, on ait sur-le-champ toutes les formes particulières de l'espèce !\an -+- b dont les diviseurs de ce nombre sont susceptibles.

La Table III, qui suit, répond, comme on voit, à la Table I, et la Table IV à la fable II; on y a omis, pour plus de simplicité, les valeurs paires de b, ainsi que (elles qui ne seraient pas premières ;i \a\ de sorte que ces Tables ne donnent que les formules des diviseurs impairs et premiers à a. Lorsque deux valeurs différentes de p mil donné les mêmes valeurs de b, on a réuni ces valeurs de p dans une même case.