DES NOMBRES
35. Cet usage se présente naturellement; car il suffit de ramener le nombre proposé dont on cherche les diviseurs ou un quelconque de ses multiples h la forme t- ± air, ce qui est toujours possible de plusieurs manières, cl si le nombre a se trouve dans les Tables III et IV on aura sur-le-champ toutes les valeurs de b que l'on peut admettre dans la forme générale f\an + b des diviseurs cherchés; en sorte qu'on sera assuré d'avance qu'il n'y aura que les nombres qui, étant divisés par f\a, donneront pour restes quelques-unes des valeurs de b, qui pourront être diviseurs du nombre proposé; et comme pour trouver les diviseurs d'un nombre quelconque il suffit d'essayer successivement tous les nombres premiers moindres que la racine carrée de ce nombre, il est clair qu'on pourra d'abord exclure plusieurs de ces nombres premiers comme ne pouvant servir de diviseurs, ce qui épargnera beaucoup de tentatives inutiles, comme on va le voir par quelques Exemples.
Soit proposé de trouver les diviseurs du nombre ioooï.
Suivant la méthode ordinaire il faudrait tenter successivement la division par tous les nombres premiers moindres que 100, qui est la racine carrée la plus pioche de ioooï; de sorte que com nie en lie 2 cl IOO il \
a vingt-quatre nombres premiers, il faudrait faire vingt-quatre divisions particulières.
Or
i" .le remarque que
i o ooi ioo '' -+- i ;
de sorte qu'on a ici a i, et la Table III donne b i; c'est pourquoi aucun nombre ne pourra être diviseur de ioooï, à inoins qu'il ne soit de la forme \n r, c'est-à-dire qu'étanl divisé par \ il donne i de peste; ee qui exclut déjà un grand nombre de nombres premiers tels que '>, 7, 1 1, i<),...; a0 Je remarque ensuite que si l'on fait le carre de 101 on a 10 201,
dont la différence avec le nombre proposé est
de sorte que le même nombre 10 001 peut aussi se représenter par
ioi)2— 2(ioj2;
ainsi l'on aura a = 2, et la Table IV donnera b = 1 , — 1; d'où il s'ensuit que les diviseurs de 10001 ne pourront être que de l'une ou de l'autre de ces deux formes 8n -+- 1, Sn — 1; doue, puisqu'ils doivent être déjà de la forme l\n 4- 1, il s'ensuit qu'ils ne pourront être que de la forme 8«-hi; ainsi parmi tous les nombres premiers moindres que 100 il ne faudra choisir que ceux qui, étant divisés par 8, donneront l'unité pour reste; et l'on ne trouvera que ces cinq-ci
qui seront admissibles; de sorte que l'on n'aura plus que cinq diviseurs à essayer au lieu de vingt-quatre. On pourrait encore réduire le nombre de ces mêmes diviseurs en ramenant d'une autre manière le même nombre 10 001 à la forme t- ±au'2; mais cela est presque inutile dans le cas présent où le nombre des diviseurs utiles est déjà si petit; en effet, on trouve que 17 et 41 ne divisent pas 10001, mais que 73 le divise, et donne pour quotient le nombre 1 37 qui est premier : d'où l'on conclut d'abord que les facteurs de 10001 sont 73 et 137.
Je vais chercher de même les diviseurs du nombre suivant iooo3.
J'aurai d'abord la forme
(ioo)2-4- 3,
qui donne a= 3 avec le signe 4-; ensuite, à cause de (ioi)2=io2oi,
j'aurai aussi
iooo3 = (îoif — 198 = (101)2 — 22(3 )2;
donc a= 22 avec le signe — .
La Table III donne pour a = 3, b = i, — 5; de sorte qu'on aura d'abord ces deux formes
12/1 + 1, 1 2 n — 5 ou 1 2 n -t- 7 ;
ensuite la Table IV donnera pour a = 22,
d'où l'on tire les formes 88/j ± i, 88« ±. 3, —
Or puisqu'il suffit d'examiner les nombres premiers moindres que 100, on fera d'abord dans t'es dernières formes n = o ou = 1, et, rejetant les nombres qui ne seraient pas premiers, on ne trouvera que ceux-ci
qui soient admissibles; mais, en considérant les formes 12/? + 1, [2/1+7, on voit qu'il faut encore rejeter tous ceux qui, étant divisés par 12, donneront des restes différents de 1 ou de 7; ainsi il n'y aura que ers six
<jui puissent servir. La division réussit d'abord par 7, et le quotient étant 1429 qui est premier, il s'ensuit que les diviseurs de [ooo3 sont seulement 7 et 1 -\2[).
Prenons encore pour exemple un nombre beaucoup plus grand, comme 1 oooo3.
Il est visible qu'on aura d'abord la forme
1 o 1 00 ' •+■ 3 , ou bien en multipliant par 10,
de sorte qu'on aura a = 3o avec le signe l : ensuite je considère les canes qui approchent le plus de ioooo3, je trouve 99856 et [00489, dont les différences avec ioooo3 sont \\- 3 7 - el \S6 6 9 -, de
sorte que j'aurai encore ces deux autres formes
;ui '.7 ei 3.7 -•- (i g dont la première donne a 3 avec le signe H , el la seconde a Ci
avec le signe — .
Considérons d'abord ces deux dernières formes, el elles donneront,
suivant les Tables III et IV, l'une les formules ia«+ i, 12/1 — 5, et l'antre les formules 2l\n±.\, 2f\n± 5, d'où l'on voit que l'on ne peut admettre que ces deux-ci i[\n 4- 1, 2i\n — 5 pour les diviseurs impairs du nombre propose.
Maintenant la première forme où a = 3o donnera, suivant la Table III, les formes suivantes :
3i, 120/; -i- 4g, non — 41' 120/74-17, non -h i3, 7, i2ore + i3, 12071 + 37, 120/7 4- 43, 120/1 — 53,
1 20 II 4- l ,
non
non -+- 4- 7 »
non -h 1 1,
29, I'joh 4- 59, non — 19;
(ju'il faudra comparer avec les précédentes 2^n 4- 1, 2^n — 5, pour en rejeter celles qui ne s'accorderont pas. Pour cela il n'y aura qu'a diviser successivement les expressions 1 2on + 1,1 2on 4- 3i , . . . par 24, et l'on ne retiendra que celles qui donneront pour reste 1, ou — 5, ou bien 19, et comme le nombre 120 est divisible exactement par 24, il suffira de
faire subir l'épreuve aux nombres 1, 3i, 49 De cette manière on ne
trouvera que les nombres
de soi'te que les formules utiles se réduiront à ces quatre-ci
120» 4-1, I20H + 49» i2o»4-43, 120/7 — 53 ou bien 120/14-67.
Par conséquent, aucun nombre premier ne pourra être un diviseur du nombre ioooo3, à moins qu'il ne soit de l'une de ces formes, c'est-à-dire qu'étant divisé par 120 il ne donne pour reste 1, ou 43, ou 49. ou G-j. De plus, comme il suffit d'essayer pour diviseurs les nombres premiers (jui sont moindres que v/ioooo3, c'est-à-dire moindres que 317, on fera dans les quatre formes précédentes n = o, n = 1 et n = 2, et l'on ne retiendra des nombres résultants que ceux qui seront premiers, savoir
ainsi il n'y aura que ces'six diviseurs à essayer, tandis que par la méthode ordinaire il faudrait en essayer soixante-quatre. Or on trouve que
la division ne réussit par aucun de ces six nombres premiers; d'où l'on doit conclure sur-le-champ que le nombre ioooo3 est premier.
En général, on voit par la comparaison des Tables V et VI avec les Tables III et IV, que le nombre des formes des non-diviseurs est égal a celui des formes des diviseurs; de sorte que les formes admissibles ne composent que la moitié de toutes les formes possibles; ce qui doit nécessairement réduire le nombre des essais à faire à la moitié; mais en combinant ensemble plusieurs formes différentes, ainsi que nous l'avons fait dans les Exemples précédents, on parviendra encore a diminuer ce nombre autant qu'il sera possible.
DFS NOMBRES PREMIERS DE LA FORME 4«« + b, LESQUELS SONT EN MEME TEMPS
DE LA FORME ,c±t,i\
