M. Fermai a trouvé le premier les Théorèmes suivants

i° Tous les nombres premiers de Informe \n -h i sont aussi de lu forme

2° Tous tes nombres premiers de la forme 6n + i sont de la forme

3° Tous les nombres premiers de la forme Hn -+- i sont de la forme

i" Tous les nombres premiers de la forme Sn + 3 sont aussi de la forme y'2 -+- 2z2.

5° Tous les nombres premiers de la forme 8/1 ±. i sont de la forme

6° Le produit de deux nombres premiers de la forme \n • 3, et terminés

par les caractères 3 OU 7, est toujours de la forme y'1 H '> --' : et h carre de chacun de ces nombres en particulier est aussi de la menu forme .

Les quatre premiers el le dernier de ces Théorèmes se trouvent dans une Lettre de M. Fermai à M. Digby insérée dans le Commerctum episto-

licum de M. Wallis (Wallisii Opéra, t. II, p. 8 T> 7 j ; le cinquième ne se trouve, a la vérité, que dans les Lettres de M. Frenicle à .M. Fermât, imprimées dans les Œuvres mathématiques de Fermât, pages 168, 170; mais il paraît, par ces Lettres mêmes, que ce dernier l'avait aussi déjà trouvé de son côté.

Quant à la démonstration de ces Théorèmes, M. Fermât ne l'a point donnée, du moins on n'en trouve aucune trace dans les Ouvrages de ce savant qui nous sont restés; mais M. Euler a entrepris d'y suppléer, et a réussi en effet à démontrer les deux premiers Théorèmes, et môme le troisième, quoiqu'il n'ait encore publié que la démonstration des deux premiers (voyez les Nouveaux Commentaires de Pctersbourg, t.V,VI,VIII).

A l'égard des autres Théorèmes de M. Fermât, et surtout du quatrième, M. Eulev avoue qu'il n'a pu parvenir à le démontrer; il en est de même de quelques autres Théorèmes semblahles que M. Euler a trouvés par induction (voyez t. YI, p. 221, et t. VIII, p. 127 des Commentaires cités ;, et que voici :

70 Tous les nombres premiers des formes 20/i + 1 et ion -+- 9 sont de la forme y2 -+- 5z'2.

8° Tous les nombres premiers des formes if\n -+- 1 et sl\n -h 7 sont de

la forme y 2 -+- 6 ;

90 Tous les nombres premiers des formes il\n H— 5 et il\n +■ 1 1 sont de la forme iy2 -+- 3 s2.

io° Tous les nombres premiers de ces formes 28/1-1-1, 28/? + 9, 28/? -+- 11, 2S/1 -+- i5, 28^ -h 23, 28/? -h 2D sont de la forme y2 +■ yz*.

On trouve encore un plus grand nombre de pareils Théorèmes dans le tome XIV des anciens Commentaires de Pêtersbourg \ mais dont aucun n'a été démontré jusqu'à présent.

Les principes établis jusqu'ici peuvent servir à démontrer la plupart de ces Théorèmes et même à en trouver de nouveaux; mais il faut pour cela poser les Lemmes suivants.

Lemme I.

37. Si p est un nombre premier quelconque, et x un nombre non divisible par p , le nombre x~p~K — i est toujours divisible par p.

C'est le Théorème connu de M. Fermât dont M. Euler a donné différentes démonstrations dans les Commentai/es de Pêtersbourg. Voyez aussi à ce sujet les Mémoires de 1771 (*).

Il y a doue un nombre p — 1 de nombres entiers positifs ou négatifs,

chacun moindre que -•> qu'on peut prendre pour a\ en sorte que xp~K — 1 devienne divisible par p\ car ces nombres sont ± 1 , ±2,..., ±

Lemme II.

.38. Si' le binôme xp~{ — 1 est résoluble en deux facteurs rationnels et entiers X et z, dont les degrés soient m et <j., en sorte que m ~\- u.= p — 1 ;

Je dis qu'il y aura nécessairement m valeurs de x moindres que *- qui rendront X divisible par p, et u. valeurs de x moindres que - qui rendront \ aussi divisible par p .

Car puisque par le Lemme précédent il y a p — 1 valeurs de x moindres que -■> qui rendent xp~* — 1 divisible par/;, il y aura donc m ■+- u. valeurs de x moindres que qui rendront X£ divisible par»; mais /vêtant un nombre premier, X; ne peut être divisible par />. à moins que \ OU £ ne le soit; d'autre pari le nombre des valeurs de x moindres que ' • lesquelles peuvent rendre le polynôme X ou '% divisible par />. ne peut surpasser m ou (X, ainsi «pie nous l'avons démontré dans les Mémoires de 1768 " ; donc il faudra nécessairement que le nombre des valeurs

OEuvres de Lagrange, 1. III. p. (a5.

" Œuvres <•/<■ Lagrange) t. II, p, 667