III

les premiers de la formule générale (H), représentent nécessairement v racines différentes de cette équation, et qu'en particulier f 25 j elles représentent les racines jx''*"', [p. -+- 1 )""", (u + 2)'""", . . . , jusqu'à la i\]. + v-i ;"*"■ de la même équation.

Pour le prouver, il suffît de taire voir, suivant la méthode du n° 26, qu'en supposant dans l'expression générale de x de la formule (L) les coefficients des termes de l'équation proposée où les exposants de x seraient moindres que jx, chacun égal à zéro, comme aussi chacun des coefficients des termes intermédiaires entre les deux Mx,a et Na?/K+i', et faisant en même temps M infiniment petit, cette expression se réduira à

celle-ci w ^, qui est la racine générale de l'équation

M — Na?v — o.

Or, après la destruction des termes dont nous venons de parler, il est clair que la quantité X ne renfermera plus que des puissances de x plus grandes que a/'-1-", et qu'ainsi la quantité T ne renfermera que des puissances de t plus grandes que t ; d'où il est facile de voir que les fonctions

rit

de la formule (L) ne seront plus composées que des puissances de t plus

M grandes que L'\ donc, faisant *=t«> et supposant ensuite M infiniment

petit, c'est-à-dire t infiniment petit, il est évident que toutes ces puis-

sauces de t s'évanouiront vis-à-vis du premier terme t" de l'expression

de x, laquelle se réduira par conséquent à t' ou à (^-j > à cause de

32. De là il est aisé de conclure que, pour trouver toutes les racines d'une équation donnée, par le moyen de nos séries, il n'y aura qu'à corn-

biner le premier terme de celle équation avec le dernier, ou immédiatement ce qui donnera une série qui renfermera toutes les racines, ou moyennant les termes intermédiaires, c'est-à-dire en combinant d'abord le premier terme avec quelqu'un des suivants, ensuite celui-ci avec le dernier, ou avec quelqu'un de ceux qui le précèdent, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive au dernier terme par cette expression de combiner deux termes de l'équation proposée, nous entendons qu'il faut prendre ces deux termes pour les deux premiers de notre formule générale (H); nous nous servirons aussi dans la suite de cette même expression abrégée] . Cbacune de ces combinaisons donnera une série simple, ou double, ou triple, etc., qui représentera par conséquent une, ou deux, ou trois, etc., racines, suivant l'intervalle qu'il y aura entre les deux termes; de sorte que, quels que soient les termes que l'on comparera successivement ensemble, on obtiendra toujours autant de racines ni plus ni moins que l'équation en doit avoir.

33. Il est bon de remarquer que les séries qu'on trouvera en combinant deux termes quelconques de l'équation proposée auront autant de valeurs réelles et autant d'imaginaires qu'il y aura de racines réelles et d'imaginaires dans l'équation qu'on pourra faire en égalant ces deux termes à zéro f30j; de plus, il est clair que l'on ne trouvera de séries toutes rationnelles que lorsqu'on combinera des termes tels que

ainsi, si l'équation a tous ses ternies, on pourra, en combinant chaque tenue avec celui qui le suit immédiatement, trouver des séries toutes rationnelles pour l'expression de cbacune de ses racines; mais s'il manque quelque terme dans l'équation, comme si l'on suppose (pie le tenue M.r" soit suivi immédiatement du tenue \./ ■■"" "", en sorte qu'il manque v— i termes intermédiaires, alors lu combinaison de ces deux termes consécutifs donner;) une série qui renfermera le radical

et qui représentera par conséquent les différentes racines qu'on aurait trouvées par la considération de tous les termes intermédiaires si ces termes n'avaient pas manqué.

Donc on aura dans ce cas autant de séries imaginaires que le radical

aura de valeurs imaginaires, c'est-à-dire qu'il y aura de racines imaginaires dans l'équation

Or, on sait que dans une équation qui manque de quelques-uns de ses termes, il y a nécessairement autant de racines imaginaires qu'il y en aurait dans l'équation qu'on pourrait faire, en égalant à zéro la somme des deux termes de cette équation entre lesquels devraient se trouver les termes manquants; de sorte qu'en supposant, comme plus haut, que le terme M/ soit suivi immédiatement du terme — Na?'4"1-"', il y aura nécessairement dans l'équation autant de racines imaginaires qu'il y en a dans l'équation

HLxP — Nar^^o,

ou bien

De là il s'ensuit qu'en combinant deux à deux tous les termes consécutifs d'une équation quelconque, on ne trouvera jamais d'expressions imaginaires pour les racines que lorsqu'il y aura réellement des racines imaginaires dans l'équation. Il n'en est pas de même lorsqu'on combine des termes qui ne sont pas immédiatement consécutifs; dans ce cas, il arrivera souvent que les racines se présenteront sous une forme imaginaire, quoiqu'elles soient d'ailleurs réelles, comme nous l'avons déjà vu dans la Remarque qui est à la fin du Problème précédent.

34. Enfin, il résulte de ce que nous avons dit dans le n" 31, que les

séries trouvées dans les différents Exemples du § II ne représentent que les premières racines des équations proposées, puisque toutes ces séries ont été trouvées par la combinaison des deux premiers termes des mêmes équations; ainsi, pour trouver les autres racines, il n'y aura qu'à combiner le second terme, ou immédiatement avec le dernier, ou avec quelqu'un des intermédiaires, et ensuite celui-ci avec le dernier, comme nous l'avons expliqué dans le numéro cité.

Problème II.