Il

Or, puisque t = a?~it mettons -^ - à la place de m, et faisant, pour plus de simplicité,

nous aurons

m{m — n — i)a2 m[m — n— i)[m — in — i; {n — i)bp^ ~2(re — ij'ft'p* 2.3.(»-03^3P3

n — i )'""' de -5 elle aura

Or, puisque la quantité p est égale a la racine

n ■— i valeurs différentes, qui pourront s'exprimer en général de cette

manière

cos

sin

X étant égal à i, ou 2, ou 3, ou..., jusqu'à n — 1.

Donc, substituant cette expression de p dans la formule précédente.

LITTÉRALES PAR LE MOYEN DES SÉRIES. i5

on aura n — i valeurs différentes de xm; ce seront les valeurs de x"!,, x",..., x'", et désignant para?,, x3,..., xn la seconde, la troisième, etc., jusqu'à la riime racine de l'équation proposée.

Ainsi l'on aura chacune des n racines de cette équation, et même une puissance quelconque de ces racines. On pourra trouver aussi par nos formules une fonction quelconque de ces racines; c'est sur quoi il ne parait pas nécessaire d'entrer ici dans un plus grand détail.

Seconde Solution. — Prenons maintenant les deux termes extrêmes <i -h ex", et cette combinaison nous donnera immédiatement toutes les n racines de l'équation proposée.

Pour cela, on mettra l'équation sous cette forme

a bx

et l'on fera ensuite x" = t, et par conséquent x = t" , pour avoir celle-ci

. a bf

Cette équation pouvant se rapporter à l'équation primitive

a — bx -4- ex" = o,

on pourra déduire aisément la valeur de /'" de celle de x'" trouvée cidessus, <Mi changeant seulement x, en /, b en — c, c en b, et // en

Ainsi l'on aura sur-le-champ

Or, t = x"; donc, si l'on met — à la place de m, et qu'on fasse, pour abrégei .

on aura

mbçj ni\m -+- 2 -*- n)b'p' m [m -+- 3 — n)(m ■+■ 3— 2«jè3p° «a 2 n'a1 2. 5. ira-

Mais on a, en général.

p=(cos- — 4-sin— -JL^.J^ — ,

/étant égal à i, ou 2, ou 3, ou..., jusqu'à n; donc, substituant cette valeur de p dans l'expression précédente, on aura n valeurs différentes de x'", qui seront celles de x™, x%, x™,..., x'".

Problème III.

3b. On demande toutes les racines de l'équation

a — b x ■+■ ex" — ex' = o, n et s étant des nombres entiers positifs, et s > n.

Première Solution. — r° Puisque cette équation peut se rapporter à celle de l'Exemple VI du n° 21, en faisant

il n'y aura qu'à fa.ire ces substitutions dans les formules de cet Exemple, et l'on aura sur-le-champ l'expression d'une fonction quelconque de — > OÙ r sera nécessairement la première racine de l'équation proposée (34).

2° Pour trouver maintenant les autres racines, on prendra les deux ternies — bx -+- ex" pour les premiers de la formule générale, en donnanl à .l'équation celte forme

b — cx"~' — ax~' -+- exs~' = o.

On fera ensuite xn~K = t, ce qui la ramènera à la même forme que celle de l'Exemple cité; ou bien, ce qui revient au même, on comparera celle équation à celle de l'Exemple VII, en faisant

c ce

r=n — i, p = — i , q =z s; et l'on aura sur-le-champ la valeur d'une fonction quelconque de — 5

p étant = y/a = I - j

ainsi, donnant à f> les /-valeurs que cette quantité peut avoir, et qui s'expriment, en général, de cette manière

p = I cos 1- sin ■ \~l 1 \ «>

/ étant égal ii i , ou 2, ou 3, etc., jusqu'à r, on aura /• ou // — i formules différentes qui se rapporteront à la seconde, ou a la troisième, etc., jusqu'à la ni*mr racine inclusivement de l'équation dont il s'agit.

3° On prendra enfin les deux derniers tenues ex" — ex' pour les premiers, en écrivânl l'équation ainsi

C — ex' " — bx' " -t- ax "= o ;

laquelle étant comparée de même à l'équation de l'Exemple Vil, <m aura

et l'on trouvera l'expression d'une fonction quelconque de — >

(\ S — Il - \ ■>

dans laquelle mettant successivement les r ou s — n valeurs différentes de p, on aura autant d'expressions différentes qui se rapporteront aux s — n dernières racines de l'équation.

Ainsi l'on aura trois formules dont la première se rapportera a la première racine, la seconde comprendra les n — i racines suivantes, et la troisième renfermera les s — n dernières racines; de sorte qu'on connaîtra par ce moyen, non-seulement la valeur de chacune des s racines de l'équation proposée, mais aussi une fonction quelconque de chacune de ces racines.

Seconde Solution. -- Dans la Solution précédente nous avons considéré deux à deux les termes consécutifs de l'équation proposée; or, la combinaison des termes qui ne sont pas immédiatement voisins nous donnera encore d'autres Solutions.

Et d'abord il est clair qu'après avoir combiné les deux premiers termes a — bx, comme nous l'avons fait ci-dessus pour avoir la première racine de l'équation, on peut combiner immédiatement le terme — bx avec le dernier — exs pour avoir les autres racines. Pour cela on regardera donc ces deux termes comme les premiers, en écrivant l'équation ainsi

b + ex*~^ — ax~' — cxn~s = o,

laquelle, étant comparée à celle de l'Exemple VII, donnera

de sorte qu'en substituant ces valeurs, on aura l'expression générale d'une fonction quelconque de —,

p étant — a :- ( -

floue, mettant pour p chacune de ses valeurs particulières, qui sont au nombre de s — i, on aura autant d'expressions différentes qui se rapporteront aux s — i racines cherchées.

Ainsi, en combinant la formule du i°de la Solution précédente avec celle dont nous venons de parler, on trouvera la valeur d'une l'onction quelconque de chacune des s racines de l'équation proposée.

Troisième Solution. — Combinons maintenant le premier terme a de l'équation avec le terme car", c'est-à-dire, prenons ces deux termes poulies deux premiers de notre formule générale, et rapportant l'équation sons ce point de vue à la formule de l'Exemple VII, on aura

ab e .

r= n, p — 1 , q = s — i , ce qui, étant substitué, donnera une formule qui exprimera, en général.

une fonction quelconque de —->

p ('tant = ^«= I - j :

donc» introduisant a la place de p chacune des// valeurs différentes que

cette quantité peul avoir, on aura autant de formules particulières qui se rapporteront ;ui\ // premières racines de l'équation proposée.

Pour trouver les* — 71 racines restantes, il faudra combiner le terme c.r" avec le dernier terme —eaf\ or, cette combinaison avant déjà ete faite dans le 3° de la première Solution, il n'y aura qu'à emprunter ici la formule trouvée dans cet endroit.

Donc on n'aura en tout que deux formules générales comme dans la Solution précédente; et l'on pourra, par le moyen de ces formules, trouver non-seulement chaque racine en particulier, mais aussi une fonction quelconque de chaque racine.

()i \ 1 iiii.mi. S01.1 mon. [1 reste encore une combinaison a faire, c'est

celle des deux termes extrêmes a et — ex\ laquelle donnera immédiatement toutes les s racines de l'équation.

En rapportant donc sous ce point de vue l'équation proposée à celle de l'Exemple VII, on aura

et l'on trouvera une formule générale pour l'expression d'une fonction

quelconque de —■> où

de sorte qu'en y substituant successivement les s valeurs de p, on aura autant de formules particulières, dont chacune se rapportera à une des racines de l'équation dont il s'agit. Ainsi une seule foi-mule générale suffira dans ce cas pour trouver la valeur d'une fonction quelconque de chacune de ces racines.

Comme nous avons .épuisé toutes les combinaisons possibles des termes de l'équation proposée, pris deux à deux, on ne pourra pas trouver d'autres solutions que celles que nous venons de donner, au moins par nos formules; ainsi nous ne nous arrêterons pas davantage sur cette matière, les Exemples donnés ci-dessus nous paraissant suffisants pour faire voir clairement l'application de notre méthode.

*ij [V. — Sur la convergence ou divergence des séries qui représentent des fonctions quelconques des racines des équations .

37. Il ne suffit pas de pouvoir exprimer les racines des équations, ou leurs fonctions quelconques, par des séries régulières, et dont la loi soit bien développée; il faut surtout pouvoir reconnaître par la loi même de ces séries si elles sont convergentes à l'infini ou non; car il est clair que

LITTERALES PAR LE MOYEN DES SERIES. (il

pour qu'une série puisse être regardée comme représentant réellement la valeur d'une quantité cherchée, il faut qu'elle soit convergente a son extrémité, c'est-à-dire que ses derniers termes soient infiniment petits, de sorte que l'erreur puisse devenir moindre qu'aucune quantité donnée. Voyons donc comment on pourra reconnaître si cette condition a lieu ou non dans les séries des paragraphes précédents.

Pour rendre notre recherche aussi générale qu'il est possible, nous considérerons l'équation générale (H) du n° 16, savoir

laquelle donne en général fn° 17, formule K)

,i (fL\ =.i,(y) . ?(*r)^'(r) , ' rf[9(«r)'f (,r)1

a / a 2 a5 dy

rf'[<p(«r)s<K(r)]