La' dy'~l

un ternie quelconque de cette série, dont le quantième soit i-t-i; et supposons que la fonction o' x) soit représentée par nue suite quelconque de puissances de r, en sorte que l'on ait

<f(x) = \x" ■+■ R.r* -+- Cxc -4- . . . ,

A, M, (],... étant des coefficients quelconques, et a, b, c,... des exposants ;iussi quelconques; on aura donc de même

<f(ay)= \ x" y -+- \\xh )■'■+- i'.yj y +-...,

par conséquent un terme quelconque de la puissance /""" de cette quantité, c'est-à-dire de la valeur de f w ' sein, comme on sait,

,2.3. . . m ><!.2.3.../lXl.2.3.../>X

Cri MÉTHODE POUR RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS

m, n, /),... étant des nombres entiers positifs, tels que

Supposons de plus que la fonction tj/ (y) soit aussi représentée par une suite de termes tels que Yyf; et multipliant la quantité précédente par Fyf, on aura pour un terme quelconque de la valeur de f.(ay .''■>' y ■ l'expression

i.2.3...î'XF.A"B"Cf...a" i . 2 . 3 . . . m X i . 2 . 3 . . . w X i . 2 . 3 . . .jw X . . . '

en faisant pour plus de simplicité

ma -+- nb ■+■ pc -f- . . . = u.

Donc, différentiant cette quantité i — i fois, en faisant y variable et r/v constant, et divisant ensuite par i.2.'5...i.y.'dy'~\ on aura pour la valeur d'un terme quelconque de

J'-'[cp(ar)^'(r)]

i .2.3. . .i .oc' </)•'-'

après v avoir fait y= i, la quantité

i.2.3...mXi.2.3...»Xi.2.3...y?X...

Ainsi la difficulté se réduit maintenant à voir ce que cette quantité devient lorsqu'on suppose i infiniment grand.

.'5N. Pour cet effet, je remarque que l'on a, en prenant sr pour le rapport de la circonférence au rayon.

log i -f- log2 -+- log3 -4- log4 -t- ■ ■• — loij.r x -\ — | \oiix — x H — loge -+-

2 / 2 I '.?' jho.r

comme MM. Stirling, Moivre et d'autres Géomètres l'ont démontré (voyez surtout le Calcul différentiel de M. Euler); de sorte (|ue, Lorsque r est

infiniment grand, on a, sans erreur sensible,

log i + log2 -+- log3 + . . . + log.r = in — j log.r — X + - logot

= xH ) log.r — loge* H loger,

d'où, en passant des logarithmes aux nombres, on tire dans la même hypothèse

0 V CJ X 2 I . 2.i. . .X = - •

ex

On a de plus, en général, quels que soient x et j,

logx -+- \og(x — i) 4- log (a? — 2) "4-. . .+ iog(x — r -1- 1)

= (.r -(- - ) logx — .r H ^ — - h- . . .

\ 2 / 12 a: ibo x3

x — .>•+- ) log (x — )•) + .r — r 1— ~\ "+- m , —v,

de sorte qu'en supposant x et v infiniment grands, on aura

log-r -+- log(x — 1) -4- log(.r — 2) + . . . -+- log(.r — .)' + 1) \ + 2) log'r ~~ \ — ^"""â) ,og^ ~^~^' cl par conséquent, en passant des logarithmes aux nombres,

,Ax-r+-;

De là il s'ensuit, pour le dire en passant, que le coefficient du [y -m /"'"" terme du binôme élevé à la puissance x sera, lorsque x el y sont trèsgrands,

de sorte qu'en faisant y = px ce coefficient deviendra, en divisant le

haut et le bas par x**1»