Si l'on avait

alors les deux conditions seraient les mêmes; de sorte qu'il faudrait dire que l'équation aurait dans ce cas autant de racines réelles et autant d'imaginaires qu'il v en aurait de telles dans les équations

a — bx'" o et h — ex" o,

et dans l'équation

a -4- cxm+n = o ; donc, s'il arrive que le nombre des racines imaginaires de ces deux

équations-là soit différent de celui de cette équation-ci, il s'ensuivra qu'il v aura dans la proposée autant de racines égales qu'il \ aura plus de racines imaginaires d'un côté que de l'autre; car les racines égales étant les limites entre les racines réell* s et les imaginaires, peuvent être regardées en quelque sorte comme appartenant aux unes "o aux autres

r± MÉTHODE POUR RESOUDRE LES EQUATIONS

46. Nous avons vu (41) que, pour que la série soit convergente, il faut que N ne soit pas > i; on cherchera donc dans chaque cas la plus grande valeur de N, en regardant les quantités fx, v, rc,... comme variables, et si elle ne se trouve pas plus grande que l'unité, on en conclura que la série est convergente; sinon elle sera divergente.

Faisons varier seulement p. et v, et l'on aura

f = ^'og^TW,(,„SA,^rfv(,0^-,).,

mais il faut que

a -+- v -+- 7: -t- . . . = i et ap. + b v -+- az -K • • = v ;

donc

dp. -4- dv = o, adu. -Y- bdv = du ;

d'où

du , du

du.— r? dv—T 'i

donc, substituant ces valeurs, et égalant la différentielle dN à zéro, on aura

log

i A . B log— -log -

OCU U. V

d'où l'on tire

au \a A __ / cxu u — i / y. \ u — i / v

On trouverait de même, en faisant varier \j. et -,

au \a A / au \e C

u — i / fz

et ainsi de suite; de sorte que les conditions du maximum ou minimum seront renfermées dans ces équations

au y A __ / au \6 B

On aura donc, en prenant un coefficient quelconque X,

av v — i

donc, substituant ces valeurs dans les équations

on aura

,1/ — i / Vu — I

BA

Ce

d'où l'on tire, en chassant).,

(j +C(o„)^Tj •

équation par laquelle on déterminera y, après quoi on aura

bi-^MVc'

et ensuite fx, v, -,... par les formules précédentes.

Ainsi l'on pourra toujours, par ce moyen, juger de la convergence OU de la divergence de chaque série.

SUK LA

SUR LA

[Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, t. XXV, 1771.)

On sait que la force d'un ressort plié s'affaiblit toujours à mesure que le ressort se débande, mais on ignore la loi suivant laquelle se fait cet affaiblissement : or, c'est de cette loi que dépend la ligure des l'usées que l'on applique aux montres et ii la plupart des horloges à ressort, et dont la propriété est de maintenir l'action du ressort dans l'égalité au moyen de la différente grandeur des rayons qui formenl la rainure spirale; car, selon que la corde qui se désentortille se trouve appliquée à une plus grand»; distance de l'axe de la fusée, l'action du ressort devient aussi plus grande, et il faut que cette augmentation compense exactement la diminution de force que le ressort souffre en se déroulant. Dans les ressorts qui agissent en s'allongeant ou en se raccourcissant, il parait que la force est proportionnelle à la quantité dont ils se dilatent ou se contractent, ou du moins à une fonction donnée de celte quantité; mais ce principe n'a pas lieu dans les lames élastiques inextensibles el pliéesen spirale telles que celles qu'on applique aux horloges: le seul principe

qu'on puisse employer pour ces sortes de ressorts est que la force avec laquelle le ressort résiste à être courbé est toujours proportionnelle à l'angle même de courbure; el c'est d'après ce principe que de très-grands

Géomètres ont déterminé la courbe qu'une lame élastique doil former • Lu le 10 septembre 177"

lorsqu'elle est bandée par des forces quelconques données. Or, voici le Problème qu'il l'a u t résoudre pour pouvoir connaître la loi de la force des ressorts plies :

Une lame à ressort de longueur donnée et fixe par une de ses extrémités étant bandée par des forces quelconques qui agissent sur l'autre extrémité, et qui la retiennent dans une position donnée, déterminer la quantité et la direction de ces forces.

Ce Problème n'a encore été résolu, que je sache, par aucun Géomètre; c'est ce qui m'a déterminé à en faire l'objet de ce Mémoire. La seule restriction que j'y mettrai, c'est que la lame soit uniformément épaisse, et que sa ligure primitive et naturelle soit la ligne droite. Ce n'est pas que le calcul ne puisse s'appliquer à des ressorts de figure et d'épaisseur quelconques, mais les équations qu'on aurait seraient trop compliquées pour qu'on en pût tirer quelque lumière.

Le principe ordinaire d'après lequel on résout le Problème de la courbe élastique est, que la force du ressort à cbaque point doit être proportionnelle à la somme des moments de toutes les puissances tendantes. Or, quoique ce principe paraisse n'avoir pas besoin de démonstration, cependant, comme un très-grand Géomètre a cru pouvoir le révoquer en doute par cette considération qu'un ressort ne devant être regardé ni comme un corps parfaitement flexible, ni comme un corps absolument inflexible, on ne saurait se former une idée nette des moments des forces tendantes, moments qui, selon lui, ne peuvent avoir lieu que dans des corps absolument inflexibles. Je vais tâcher d'abord d'établir la vérité de ce principe d'une manière aussi simple que rigoureuse.

Imaginons plusieurs verges droites et inflexibles AB, BC, CD, DE,... {ftg. i), lesquelles soient jointes l'une à l'autre par des charnières à ressort aux points B, C, D,..., et dont la première BA soit fixée horizontalement au point A, et la dernière EF soit chargée au point F d'un poids quelconque P; on propose de trouver la figure du polygone ABCDEF.

Pour cela, je remarque que, quelle que soit la manière dont le ressort en B agit sur les deux verges AB, BC pour les étendre en ligne droite, on peut toujours substituer à l'action de ce ressort celle d'un autre ressort Ce, qui serait attaché d'un côté au point C de la verge BC et de l'autre au

Fig. i.

point c de la verge AB prolongée en c en sorte que BC — Bc, et qui aurait une force de contraction équivalente à la force du ressort de la charnière B. On pourra de même substituer aux ressorts des autres charnières C, D,... des ressorts X)d, Ee,... qui agissent sur les points I), E,... des verges CD, DE,... et sur les points d, e,... des verges BC, CD,... prolongées en d, e,..., de manière que CD = C<7, DE = De, Cela pose,

soil AB — BC = Bc - CD = (>/... =i, et soit F la force du ressort en H, F' en C, F" en D,... ; soit R la force du ressort (>, IV celle du ressort Dr/,

IV celle du ressort l'>... . ; enfin, soit l'angle CBc = f, l'angle DCrf= >', l'angle KDe = f", — et a la distance Hk du point fixe B à la verticale KB suivanl laquelle agit le poids tendant, a' la distance C). du point C à la

même verticale, a" la distance Du Il est évidenl que le ressort Ce

agissant obliquement sur les lignes BC, Bc, ne l'ail sur chacune de ces lignes qu'un effort égal à H eosç pour les rapprocher l'une de l'autre, et

comme cet effort doit être égal à celui du ressort placé eu B, on aura Kcosç. = F; on prouvera de la même manière qu'on aura R'cos^^F', R"cos<p" = F",.... Considérons maintenant les deux verges BC, Bc comme mobiles en B et tirées l'une vers l'autre par le ressort Ce placé entre deux: qu'on prolonge ces deux verges jusqu'à la ligne verticale PK, et qu'on joigne les deux extrémités K et L par un ressort KL qui ait une force dilatative capable de faire équilibre à la force contractive du ressort Ce, il est aisé de prouver que si l'on nomme p la force du ressort KL, on aura (à cause de BC = Bc = i , BK = a et KL perpendiculaire à BK ) pa = Rcosip; donc, si l'on suppose que la force dilatative p devienne contractive, le ressort KL sera équivalent au ressort Ce, et par conséquent aussi au ressort de la charnière B, pourvu que la force p soit telle que

pa = Rcoso = F.

On peut prouver de même que l'on peut substituer au ressort De? un autre ressort ML qui agisse aux extrémités M et L des verges BC, CD prolongées jusqu'à la verticale PK, et que la force de ce ressort que je dénoterai par p' devra être déterminée par l'équation

p'a' = R' cos cp' = F'.

Nommant pareillement p" la force d'un ressort qu'on imaginerait placé aux exti'émités M et N des verges prolongées CD, DE, et qui serait équivalent au ressort Ee, on trouverait l'équation

p"«"=R"cos?" = F",

et ainsi de suite. On aura donc par ce moyen un assemblage de verges AK, BL, CM, DN,... dont la première est fixe en A, et dont les autres sont mobiles autour des points B, C, D,..., et dont les extrémités K, L, M, N,... sont unies par des ressorts KL, LM, MN,... disposés en ligne droite, et qui sont en équilibre tant entre eux qu'avec le poids, P. Or il est visible que cet équilibre ne saurait subsister à moins que les forces p, p', p",... des ressorts ne soient égales entre elles et égales aussi à la force du poids P; c'est pourquoi on aura nécessairement

donc

c'est-à-dire que les forces des ressorts qui agissent à chacun des angles du polygone ABCD... doivent être proportionnelles aux moments du poids tendant par rapport à chacun de ces angles.

S'il y avait plusieurs puissances tendantes, alors on démontrerait par un raisonnement semblable que le ressort à chaque angle du polygone devrait être proportionnel à la somme des moments de toutes les puissances. Supposons maintenant que les verges qui forment le polygone élastique deviennent infiniment petites et que leur nombre augmente à l'infini, il est clair que le polygone se changera en une courbe continue, et que l'on aura le cas d'une lame élastique pliée, dans laquelle il faudra par conséquent que l'action du ressort à chaque point soit proportionnelle à la somme des moments des forces tendantes par l'apport à ce point, comme on l'a toujours supposé.

A l'égard de l'action du ressort, c'est-à-dire de la force avec laquelle il tend à se débander, on convient généralement qu'elle est eu raison de l'angle de courbure, c'est-à-dire en raison inverse du rayon oscillateur; ainsi il faudra que la somme des moments des forces tendantes par rapport à chaque point de la courbe élastique soit réciproquement proportionnelle au rayon oscillateur lorsque l'élasticité absolue est partout la même, et lorsque l'élasticité est variable, il faudra que la somme des moments dont il s'agit soil en raison directe de l'élasticité absolue et en raison inverse du rayon oscillateur.

Soit donc ABC (fig. 2) une lame élastique fixée par une de ses extrémités C, el courbée par des puissances quelconques qui agissent sur l'autre extrémité A. Ayanl lire par <•<• point A la tangente PAN, et par un

point quelconque M de la courbe l'ordonnée BM, perpendiculaire à la droite W. que nous prendrons pour l'axe des abscisses, on fera AM = .r, Ml'» y, l'are Ait égal à .v, le rayon de courbure en H égal a p, l'angle que