IV

Comme la position des coordonnées AN = a et NC = b (Jig. i) dépend de celle de la tangente AN au point A de la courbe élastique ABC, il sera bon d'introduire à leur place la corde AC et l'angle ACT qu'elle fait avec la tangente CT au point C où la lame élastique est supposée fixe. Soient donc (Jig. 3) AC = r et ACT = a, l'angle CTN sera égal à la valeur

Fig. 3.

de (f au point C, c'est-à-dire égal à m; de sorte qu'on aura

angle CAN = m — a, a=r cos {m — oc), b = /sin (m — «).

et de là

Changeons aussi les deux forces P et Q, qui agissent suivant AP et AQ, en deux autres qui agissent suivant AR, c'est-à-dire dans la direction de la corde CA prolongée et suivant AT perpendiculaire à AR; et nommant

la première de ces forces R et la seconde T, on aura

P = R cos (m — a) + T sin(m — x), Q = — R sin [m — x) 4- T cos ( m — a :

ou bien, en faisant pour plus de simplicité

R=j9Cos</, T = />sin</,

en sorte que

oïl aura

p = s/R2 + T2, tangçf = ^ >

P = p cos ( ç + x — m ) , Q = p sin ( </ -i- x — m).

Ainsi il n'y aura qu'à faire ces substitutions dans les équations trouvées ci-dessus, et chassant ensuite m, on aura deux équations par lesquelles on pourra déterminer/? et q, c'est-à-dire R et T par /, r et «.

Pour rendre le calcul plus simple, nous remarquerons d'abord que Q devant être par l'hypothèse une quantité très-petite, il faudra aussi queè soit très-petite; donc on aura tant smt'm — a) que sin f y -+- y. — m) trèspetits: mais m est aussi un angle très-petit du même ordre que Q: donc les angles x, m et q seront tous très-petits du même ordre, de sorte qu'on aura à très-peu près

m — x r a = r li —

par conséquent, si l'on substitue ces valeurs dans les équations du § III et qu'on fasse, pour abréger,

on aura, en négligeant ce qu'on doit négliger,

= COSW,

r , /sinw

g -4- a— m)s /sin2&> 2 sinw 3

Or, cette dernière équation donne, en négligeant les quantités trèspetites au-dessus du second ordre,

/ {m — a)2 (q -+- a. — m)2 /sin2w 2 sinw 3\

l i i \ 4 w ta 2 /

de sorte que la seconde équation deviendra celle-ci

'sinw m — a = ( q -+- a — m ) ( —

or la première donne

COSW

et cette valeur étant substituée dans l'équation précédente, on aura

q sinw

a. w cosw — sinw

m w (cosw — i oc. w cosw — sinw

donc, faisant ces substitutions dans l'équation qui donne la valeur de -,

on aura

/ , . ., wsinsw . 3w2

I (SlllW — W)2 -f- ■ t 2WS1I1W H

a2 2 (w cosw — sinw)2

Ainsi, en supposant l et r donnés, la dernière équation donnera

d'abord w en a, d'où l'on connaîtra aussi/) en a à cause de/?= — ~ït~ensuite les deux autres équations donneront m et q.

Puisque nous avons supposé q très-petit, les deux forces R et T (§ IV) deviendront R =p et T = pq, c'est-à-dire

R = jr- et T= j^r,

ainsi l'on connaîtra les deux forces T et R pour chaque angle a.

Supposons que la force perpendiculaire T soit nulle; il faudra donc que q = o; donc aussi sinco = o, pourvu que u ne soit pas égal à zéro; autrement le dénominateur w cosw — sinw le deviendrait aussi; donc on aura w = (J.n, ~ étant l'angle de 180 degrés et \i. un nombre quelconque entier positif ou négatif excepté zéro. Donc on aura, dans ce cas,

d'où il s'ensuit que si le ressort n'est tendu que par une seule force AR qui agisse dans la direction de la corde AC, il faudra que celte force soit

dirigée de A vers C, et qu'elle ne soit pas moindre que ' ' — ■> c'est-à-

?.K2—2 dire moindre que — v; — j pour qu'elle puisse produire dans le ressort une

très-petite courbure quelconque; et toute force qui sera moindre que

. " ne produira absolument aucun effet dans la lame élastique.

M. Etalera déjà fait cette curieuse remarque, et il en déduit des conséquences relatives à la force des entonnes dans un excellent Mémoire sur ce sujet, auquel nous nous contenterons ici de renvoyer. (Mémoires de l'Académie Hoxule des Sciences et HeUes-LelIres de tterlin. t. XIII. année 1757.)

Or, puisqu'en taisant w=n la force T disparaît, supposons w = n- t. 1 étant un angle forl petit . el l'on aura

t7 sinoj mu/ 1, cosgi cosf = — H — ;

on aura, en négligeant ce qu'on doit négliger,

coso),

q -+- oc — m r /sinco

i m — a ) = I q -+- oc — m ) I i ) ?

j/n — spJ

(</-4-a — m)s /sin2&> 2 sinco 3

Or, cette dernière équation donne, en négligeant les quantités trèspetites au-dessus du second ordre,

/' (m — oc)2 (q -h oc — m)2 /sin2r.> 2sino> 3^

de sorte que la seconde équation deviendra celle-ci

s in m

7? — a = ( q -+- oc — m ) | —

or la première donne

m = (q -h oc) ( i —

COSW

et cette valeur étant substituée dans l'équation précédente, on aura

q sinoi

oc m cosw — sinco '

m co (cosco — i) oc m cosw — sinco

donc, faisant ces substitutions dans l'équation qui donne la valeur de -, on aura

/ , . .. 6)siri2&) . 3 co-

I S1I1CO — Ci))" H r 2 0) sinco -+- - —

oc2 2(mcosg) — sinw)2

Ainsi, en supposant / et r donnés, la dernière équation donnera

d'abord u en a, d'où l'on connaîtra aussi/? en a à cause de/?— — ~r '■ ensuite les deux autres équations donneront m et q.