IX

Telles sont les équations par lesquelles on doil déterminer les forces R = p cosg ci T =psinq, que la lame élastique ABC, fixe en C [fig. 3, p. 86), exerce îi l'extrémité A, en supposant donnes la longueur / de la lame ANC, la corde AC = rel l'angle TCA = a. Pour faciliter le calcul, <>n prendra la valeur de cos q + [i> de la première équation et on la substituera dans les deux autres, lesquelles deviendront par là

'si' h

2 k dij (I y.

r \j> sinq

j "Ksin g -+- cf. r dp cos q l\l>\ ' ysiieg

r \ /> sing

cos g -+- «)

8h ■'/ v// sing </ /s//sing t l6K4rfcOS g I y il'.K1 /'//sin ,, j K CÔS g •

r\'P \">-K.cos(q -)- a)(dq + da)

i( r\l> d\ -jr-cosq

iijp sinq

[Ijp [ iKs'mq-^-x) ri/pcosûfirVpsin'fl 1/

UK [ rfîsinq 2K J[ 4K' ' \\

^ 8K2/-y//jsin^rf (r^fpsinq) -+- i6Ksrfcos q -\- y. i(iK4— [r2/?sin27 + 4K2cos^ + y

Ces équations sont, comme on voit, trop compliquées pour qu'on puisse en tirer quelque lumière sur la loi des forces tendantes RetT; cependant elles pourraient servir à déterminer la vraie figure de la l'usée au moins par une équation différentielle.

Pour cela on supposera que C ifig. 3, p. 86) soit le centre du barillet ou tambour, où le ressort est renfermé, et à la circonférence duquel l'extrémité mobile A est attachée; de cette manière r sera le rayon du tambour qui est constant, et y. sera l'angle que le tambour aura parcouru en tournant autour de son axe pour bander le ressort; de sorte que ru sera égal à la longueur de la corde désentortillée d'autour du tambour et entortillée autour de la fusée; donc, si l'on considère la courbe qui, par sa révolution autour de son axe, produirait le solide dont on doit faire la fusée, et qu'on nomme y l'ordonnée de cette courbe et ds l'élément de

l'arc, on aura iyds pour la portion de surface de la fusée qui sera couverte par la corde et qui devra par conséquent être égale à la longueur ar de la corde entortillée à la fusée, cette longueur étant divisée par le diamètre même de la corde; ainsi, nommant e le diamètre ou l'épaisseur de la corde, on aura d'abord

fyds

Maintenant il est clair que la corde ne sera tendue par le ressort qu'avec une force égale à T =psinq, l'autre force R ne faisant que presser la surface du tambour au point où l'extrémité du ressort est attachée; donc le moment de la force du ressort pour faire tourner la fusée sera

Ty =zypsmq, lequel devant être constant, on aura l'équation

ypsinq = g;

ainsi, il n'y aura qu'à substituer dans les deux équations précédentes

—s- — à la place de /; et — à la place de a, et chassant ensuite la va-

ysinq ' ' er '

riable q, on aura une équation entre y et ds, qui déterminera la nature

de la courbe de la fusée.

Dans les recherches précédentes nous avons supposé que le ressort étant fixe par une de ses extrémités, l'autre était retenue dans une position donnée par deux forces appliquées à cette extrémité, et nous avons cherché la valeur de ces forces; mais si l'on voulait que la tangente à cette même extrémité fût aussi donnée, alors il faudrait qu'une troisième force agît sur la lame, et qu'elle fût appliquée à quelque distance de l'extrémité dont il s'agit pour qu'elle put avoir quelque moment par rapport à celte extrémité.

Ainsi l'on imaginera qu'une verge inflexible AP fig. 2, p. 82 suit jointe à la lame élastique en A, et que cette verge soit tirée au point I' par une nouvelle force M, dont la direction soit perpendiculaire à AP, c'est-à-dire parallèle à la force Q qui agit suivant AQ §11 : et il résultera de ces deux forces M et Q une force unique M ■+ Q agissant perpendiculairement ;i la verge AP, cl à une dislance du point A égale a

iT- — 7- AP. Or la force P donne, comme nous l'avons vu dans le para- M n

graphe cité, le moment P v par rapport au point B, et la force ,M 0

donnera par rapport au même point le moment M i-Q ( .. AP ./■)-

c'est-à-dire, en faisant \P cetMn Q N, le moment Me -i-Na;; d'où il s'ensuit qu'on aura pour l'équation de la lame élastique

Me | N > • l'r

Donc, r;us;tnl les mêmes substitutions que dans le § II, on aura

N l cos 9 ds -+- P / sin 9 «5 = — -. — - :

de sorte que lorsque 9 = o, on aura ici

2RJrf9

Me.

Cette équation étant différentiée, et ensuite multipliée par -y- et intégrée de nouveau, donnera

C — Pcoso -+- N sin 9

ds'

où la constante C doit être déterminée par la condition qu'en faisant

■ do Me . . ,, 9.= o on ait —r- = — j— ; ainsi I on aura

doiK

ds =

Kd<p

+ P 1 — cos 9) -i- N sin 9

df^ K sin 9 g? 9

efa:

/M2c2 i / y-j— -(- P (1 — cos 9) -+- N sin 9

équations qui ne diffèrent de celles du § II que par le terme constant ~