Exemple III. — Soit l'équation

« — bx — x" = o :

on aura

donc

et toutes les autres quantités nulles; donc

a \aj 1a2 \a

jusqu'à ce qu'on arrive à des puissances négatives de -•

7. Au reste, quoique nous n'ayons donné que la formule qui exprime

la somme des puissances w des quantités -» -• -,••• \p, q, r,... etanl

les racines d'une équation quelconque donnée), il est facile d'avoir aussi l'expression de la somme des puissances n"m" des racines mêmes/?, q, r,...: pour cela il n'y aura qu'à changer les racines de l'équation proposée en leurs réciproques, en écrivant — à la place de r; car, nommant //, q', /',... les racines de l'équation transformée, on aura

F" <l Puisque (3)

X = aj'!-l-(j;1j! + ...)

X3 — yx" -+- y, x1 ■+- . . . , »

il est clair que si l'on fait a?=— ? et qu'on nomme Y la fonction de y dans laquelle X se changera, on aura

Yf" = y.ym-'1 + a, )"-3 -+- . . . ,

ily

- ( m - 3 ) pr"'-' H- (m- 4) p, j— » + . . . ,

D'où il s'ensuil qu'on peut mettre la formule du numéro cité sons celle forme

i \ )•'" , i (UY')-"+<) i rf»| \ »y"*«)

/•"' " ' ni > */ r 2.3 <l )

pourvu qu'oïl y Bubstitue, après les ditl'erentiations, ii la place de y,

el qu'on ail soin de rejeter ions les termes qui contiendraient des puissances négatives de y ou de • comme nous l'avons pratiqué dans les

Exemples précédents. De cette manière on pourra très-facilement trouver la somme des racines d'une équation quelconque élevées à telle puissance qu'on voudra.

,^ II. — De la manière de trouver par les séries la racine d'une équation quelconque.

S. Reprenons l'équation générale

( A. ) o = a — bx + ex2 — dx3 ■+- . . . ,

dont on suppose que les racines soient/?, q, /,..., et voyons comment on pourra trouver la valeur d'une de ces racines en particulier. On aura d'abord, comme nous l'avons vu dans le § I,

H a — bx -+- ex- — dx* + ex' — . . . = a ( i — '— j ( r • ) (i — —

Qu'on divise cette équation par bx, et, en y changeant les signes, on aura

a ex — dx'2 + ... ai x\ I x\ * x'

bx b bx \ p j \ q I \ /•

Donc, prenant les logarithmes de part et d'autre,

I , I a ex — dx- -+- . \ log ( i -

= log£ ^log (,- £\ +log (i-|) + log(«- Z) +.

bp °\ x) q

Donc faisant, pour abréger,

X = — h ex — dx1 -+- ex1

et réduisant en série les logarithmes de i ^> i — ^> i — — >•:•> on

aura, après avoir changé les signes,

Or cette équation doit être identique, puisqu'elle vient de l'équation

identique 'B); donc, si l'on remet à la place de X sa valeur

-i- ex — dxl -+- ex3 — . . . ,

et qu'on suppose

b + ob1 h 36»

on aura, par la comparaison des ternies.

Ainsi l'on connaîtra non-seulement la valeur de la racine />. mais celle de son carre, de son cube, etc., comme aussi celle de SOI] ritlime, qui sera

log/? y. log x • log j-