III

rectement que l'anomalie moyenne par l'anomalie vraie; et pour avoir l'expression de celle-ci par le moyen de celle-là, il faut employer la méthode du retour des suites, qui est non-seulement longue et pénible, mais qui a aussi l'inconvénient de donner des séries irrégulières où l'on ne saurait connaître la loi des termes. J'ai donné, dans un Mémoire imprime dans le volume de l'année 1768 (*), une méthode particulière pour résoudre, par le moyen des séries, toutes les équations, soit algébriques ou transcendantes; comme cette méthode joint à l'avantage de la facilité et de la simplicité du calcul celui de donner toujours des séries régulières et dont le terme général soit connu, j'ai cru qu'il ne serait pas inutile d'en l'aire l'application au fameux Problème de Kepler, et de fournir par là aux Astronomes des formules plus générales que celles qu'ils ont eues jusqu'à présent pour la solution de ce Problème : c'est là l'objet du présent Mémoire

Soit ABD une demi-ellipse dont le grand axe AD est égal à 2a, le demipetit axe CB égal à ma, la demi-excentricité CF égale à na = a\ 1 —m2,

en sorte que h = \i 1 — m'1 ; soit de plus le rayon vecteur FL égal à ar. l'angle de l'anomalie vraie DFL égal à u, le rapport de l'aire entière de l'ellipse à l'aire DFL comme l'angle de quatre droits, que je nomme rs, à l'angle / qui sera par conséquent l'angle de l'anomalie moyenne: il s'agit de déterminer tant /• que u par t.

Pour cela on décrira sur le grand axe AD le demi-cercle AFD. et ayant

(*) Œuvres de Lagrange, t. III, p. J-

mené par le point L la droite NLM perpendiculaire à AD, et tiré par N les droites NF et NC, on considérera que parla nature de l'ellipse l'aire elliptique DFL a à l'aire DFN la même proportion que l'aire entière de

l'ellipse a à l'aire entière du cercle, laquelle est — •> de sorte qu'on aura

aussi

a- us r. ...

us: t = : 1)1 Y

el par conséquent

a DFN a'

Or, nommant x l'angle DCN qu'on appelle, d'après Kepler, Vanomalie de l'excentrique, on aura

CM a C0S.T, MN = asin# el ML= masinx;

doue

DFN = DCN + FCN = DCN + ¥C*M = *± + ^l»?,

doue

/ = .r -+- n sin.r.

Maintenant ou aura

FL = ar=yFM -i- ML a ^/{n + cosa?)' H ///-sin./, et, à cause de ma i — /r ,

ar a^i -+■ zncosx ■ n3cos2x a i t-ncos# ;

/ i I // ros.r.

ML ms'mx

Ll' I -4- // COS£

FM n 4- ros.r

COSM ;

l.l l+BCO

si\) i< m B\ï\x

donc

De la on aura

on hien

l -+- dis» i -\- il I ■+• COSd

tant! " tant

li<) SUR LE PROBLÈME

Si l'on voulait avoir l'expression de l'angle u, on différentierait cette équation, ce (jui donnerait

du m dx

.1 i -4- ri i

cos^-w cos2-.r

ou bien

du m dx

i + cosM i -+- n i -+- cos.r

. î .• , , , i -+- cos.r et, substituant pour r -+- cosw. sa valeur ( i -+- n) > on aurait

, mdx

du =

i -+- n cosx Ainsi l'on aura d'abord x en /, et ensuite r et a en x .

Il faut donc commencer par tirer la valeur de x de l'équation

t = x -4- n sinx,

ce qui ne peut se faire que par approximation ; or, de toutes les méthodes connues d'approximation, je crois que la plus simple et la plus générale est celle que j'ai exposée dans mon Mémoire sur la résolution des équations littérales. J'ai prouvé dans ce Mémoire que si l'on a une équation

quelconque, telle que

x — x -+- cp ( x ) = o

\<p (x) dénotant une fonction quelconque de x , et qu'on veuille avoir la valeur d'une autre fonction quelconque de x, telle que <|>(a?), faisant

—y — = (L '{x , la série dx ~ '

exprimera la fonction cherchée, en y mettant après les différentiations a à la place de x. D'où il suit qu'ayant l'équation

/ = x -+- cp [x),

on trouvera

Ainsi, taisant 9 (a?) = /ïsin;r, notre équation

/ = x ■+- n sin.r donnera sur-le-champ

n2 dsin2tà'(t) n3 d'sin'tû'Ct

de sorte qu'il n'y aura plus qu'à exécuter les différen dations indiquées en prenant dt constant.

Supposons premièremenl ty(x) = x pour avoir la valeur de x en /. el l'on aura 'l>( t) = t, ty'(t) = i, et par conséquent

n2 dsin2t n3 d7s'm3l

x — t — n sm / -| -j- - — -y- h

2 dt 2.3 dt7

Pour pouvoir trouver facilement les valeurs des différentielles des puissances de sin/, il sera à propos de réduire ces puissances en simples sinus ou cosinus d'angles multiples de /. Or on sait que

a siuJ/ — cos2/,

j sin8/ 3 sin/ — sin 3/,