COS "> / — A4 COS il t
-?i — — o / /- /• — -1 cost — 5 .3''. cos 3/ -t- 55cus5/ 1 o X 2 . 3 . 4 ■ 5 . n \ 2 '
ri (6.5 . , , c .. \
- — — — 2Gcos2? — 0.4 6.cos4* + o *coso/l
Les séries que nous venons de trouver dans les Articles précédents sont ordonnées par rapport aux puissances de l'excentricité «; or, comme leur loi est assez claire, il ne serait pas difficile de les ordonner par rapport aux sinus ou cosinus des angles multiples de t, ainsi qu'on le pratique communément; cependant, pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, je vais donner ici d'autres séries équivalentes a celles-là, et disposées de celte dernière manière.
Pour y parvenir je remarque (comme je l'ai déjà fait dans le Mémoire cité, n° 17 que, si l'on prend la fraction
z [1 + zy{t)~\ qu'on la développe suivant les puissances de s, ce qui donne
et qu'ensuite on change - en Idt, s en — P r2 en — - -rv---i et ainsi des 1 z J 3 "t 2-3 ut-
autres puissances de z,on aura la valeur de la fonction d>(.r (Article II .
DE KEPLEK. 125
Supposons que les fonctions <p (t) et i\>(t) soient exprimées par des sinus et «les cosinus de t, il est facile de voir qu'en employant les exponentielles imaginaires, on pourra toujours développer la fraction
en une série de cette forme
z[l -h ZQ( t
M 4- M'W^ -+■ MV2V"' + M"VV~ + . . . 4- N'e-'v^ + N'e-5'^ -+- IVe"3'^ -4- . . . ,
où les coefficients M, M', M",..., N', N" seront des fonctions de s.
Donc, dès qu'on aura développé ces coefficients suivant les puissances de z, il n'y aura qu'à mettre, dans M, t à la place de -•> et zéro à la place
de z, z2, ... ; dans M', -= à la place de -, ^Z± àJa place de z, iltllï. v/ZTj • z i 2.3
à la place de z2, * ,' à la place de z:t , . . . ; dans M", -= à la place 2.0.4 2 ^ — 1
de -, v il la place de z, -— .,— à la place de :■-,...; et en général : 2 ' 2.3 ' °
dans Mr), — = à la place de , - v il la place de z, — ^ ,. à la rv/, ' z 2 ' 2.3
place de ;-,... : ou fera les mêmes substitutions dans V, N", . . . . N ' . mais en prenant \f—i avec le signe — ; et nommant P, P, P", P , ...
les quantités dans lesquelles se changeront les coefficients M. M', M"
et Q', Q", Q",... celles dans lesquelles se changeront les coefficients N . N". Y on aura pour la valeur de ty x) cette expression
laquelle se réduira facilement à une série de sinus ou cosinus d'angles multiples de /.
Soit, comme plus haut, jj / nsitlt, et la fraction qu'il s'agira de
développer, pour avoir la valeur de > [x . sera
1 IIZ<\\\(
Or, comme
eV-' — e~ sin / =
on aura
i -+- nz sin t nz t , /—. , r- ; ■•
cette fraction peut se partager en celles-ci
p -+- qe'^-' p — qe-,^=l en faisant
nz n a
p1 — qI = i, pq = — = 5 oc pi — q,!-^ipp i, zpq -<- pq = o;
d'où l'on tire
p + 9 s/- ' = \A"~>~ ftZ»
p — q v — ! = v^I— rez»
et par conséquent
i/ n- nz -4- J i — nz p=y— — ^ -,
i/i + nz — i/ 1 — «2
i sj—\ Maintenant on aura
i i qe'f-' </2e2V-' </3e3'v,ri
p-hqe'>/-t~P P' P1 P*
et de même
qe-'d-i qïe-'"\'-i q*e-ilJ~l
donc la fraction — — deviendra
i -4- nz sin t
où l'on aura
y i - nz — Ji — nz nz
p (Ji -h nz -\- \j i — nz) y' — i i + y' ' — f^z2 y/- De sorte que si l'on fait, pour abréger,
i -+- y i — n'z2 el qu'on remarque que
i rfZ i
Z dz - ^ , — n*zi
un ;mr;i
z i-t-nzsin/ rfz \Z v, v/ , r-' (y/— i)'1
« n2 Z , i— »3 ZJ
et il ne s'agira |)lus que de développer, suivant les puissances de z, les
... i dZ. d'/. ^/Z
(inanlites - -.-, .-, Z . -,
1 Z az <7z az
Considérons, en général, la quantité
il: r d:
ci faisan! Z' v, en sorte <|ue
il: r dz
j'aurai
., rfZ i d)
d: r dz
d) id'/. vdz
d'où je tire, en multipliant les deux membres de celle équation en croix ei différentiant après les avoir carres.
r\id: i >nz zdydz \ n : : dlY "•
équation par laquelle on pourra déterminer commodément y en z. Or il
est facile de voir, par la nature de la quantité Z, que la valeur dey = Zr, développée suivant les puissances de z, sera de celte forme
y = \zr-h ft!Bzr+- + n*Czr+l[ -4-. ... , où le premier coefficient A sera — • Substituant donc celte série à la
place de y, et égalant à zéro les termes homogènes, on aura
d'où Ton tire
et par conséquent, à cause de A — — >
<-■ — rr; — )
r ( r -+- 3 ) / ra
cl de lit
tr + 4)(r + 5)(i- + 6) /«y ^
de sorte qu'en Taisant successivement r=o, 1,2 on aura
Z dz
dl
