Scolie. — Au reste, puisque l'on a
(tJC
dt = — et (tdu ■ pdx
on aura aussi
dx dt = h X ( U du -+- n dx ,
X étant une quantité quelconque; donc on pourra déterminer X en sorte que la quantité <lt ou
( - + p \ ] dx -+- \u du
soit intégrable; alors le temps / deviendra une fonction de os et de //: or / doit être égal a zéro lorsque. .r o. et pour avoir le temps total il faudra faire u = o; donc si l'on veut que le tautochronisme ail lieu, il faudra que l'intégrale de
d • \ u du
SOÎt une telle loi ici ion de X et de //, qu'elle >'e\ ;mouisse lorsque .r O et
qu'elle devienne constante, c'est-à-dire indépendante de » lorsque // <>.
Or c'est ce qui aura lieu si l'on a «X =o lorsque x==o, el - -t-/?X = o lorsque u = o. Maintenant, pour que
+ p X </.r -+- \ u du
soi! intégrable, il faut que l'on ait
■ v fJ\u , rdx ,
u-hPx=J-^r-du-Jd^udu;
doue on aura, en général,
rd\
J dx
du
X étant une fonction quelconque de x et de u telle que l'on ait X — o lorsque x = o, et I -7— udu = o lorsque « = o.
Soit, par exemple,
X = HV,
2 étant une fonction de x telle qu'elle soit égale à zéro lorsque #= o. et V une fonction de u; on aura donc
dX ,.rf£
\'d^udu^Tx rudu'
de sorte que V devra être tel que i Xudu soit nul lorsque u = o\ de cette manière on aura, en général,
1 dl I V«rf«
(Ar
Supposons V — //'", on aura
d'où l'on voit que m -+- 2 doit, être plus grand que zéro, c'est-à-dire m > — 2. Faisons donc m-t-.2=n, « étant un nombre quelconque
SUR LES TAUTOCHRONES. 181
positif, on aura
/u" Su du = — , n
et l'expression de p sera
P ni dx U ' lu"-' '
Si l'on fait n = i , on aura
i dl 2 i
Ce qui pourrait servir, ce semble, à déterminer les tautochrones dans les milieux résistants comme les carrés des vitesses; mais il faut remarquer que le coefficient de u2 dans l'expression dep que nous venons de trouver
i dl ne peut jamais être constant; car supposant =• -~ ■ = K, on aurait é = hek-' ,
ce qui n'est pas nul loîsque x = o, contre l'hypothèse; donc la formule précédente ne pourra avoir lieu que lorsqu'on supposera la densité du milieu variable.
La solution que nous venons de donner est analogue à celle que nous avons déjà donnée à la fin de notre Mémoire de [767. M. d'Alemberl en a donné de son côté une pareille, qu'il a accompagnée d'un grand nombre de remarques très-intéressantes, et qui lui sont propres; c'est pourquoi nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce sujet.
Remarques sur lu solution du Problème des tautochrones, donnée par M . Fontaine dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, pour I année 1768.
21. .M. Fontaine réduit la solution de ce Problème ii dvu\ équations qui, en faisant S o, pour avoir le cas du tautochronisme, se réduisent ii celles-ci p. J68 :
d/> d y. d y. dp </2a
dx ' dx dx du d.r
d y. d'p dy
il 1 il h il 1
où/? est la force retardatrice le long de l'arc a;, force qu'il suppose être la somme de deux fonctions, l'une dex et l'autre de u, en sorte que l'on ait
--,— -.- = o, et u est une fonction de dimension nulle de,r et de a, laquelle
doit être égale à zéro lorsque x = o, et égale à i lorsque x — a ( p. f\6G).
22. Je remarquerai d'abord que la supposition que c soit une fonction de dimension nulle de x et a est trop limitée; aussi M. Fontaine s'en écarte-tf] dans le premier exemple qu'il donne et où il trouve
qui n'est pas, comme on voit, une fonction de dimension nulle de a? et de a. Cette méprise n'influe à la vérité en rien sur sa solution, mais elle peut servir, ce me semble, à inspirer au lecteur quelque défiance sur l'exactitude de ses calculs.
23. Considérons maintenant les deux équations de M. Fontaine. 11 est clair que la première est la même que l'équation que nous avons désignée par (Fj dans le n° 9, en y mettant a à la place de X, de sorte que cette équation de M. Fontaine n'est autre chose que l'équation de condition nécessaire pour que l'équation différentielle
u du -+- p dx ,
— ; h aa = u
soit possible ; et c'est ce qu'on peut aisément vérifier par le calcul ( nos 4 et suivants).
Or nous avons vu dans le Problème II que la condition du tautochromsme n'exige autre chose sinon que l'équation dont il s'agit soit possible en prenant pour X ou a une fonction quelconque de x et de a telle qu'elle soit nulle lorsque ^r=-o, et égale à — i lorsque x — a. Ainsi la première équation de M. Fontaine suffit pour la solution du Problème, et il n'est nullement nécessaire, comme cet Auteur le prétend (p. 4^7)» d'en chercher encore une autre.
SUR LES TAUTOCHRONES. 18:5
Quant aux conditions auxquelles notre théorie exige que la quantité X soit soumise, elles s'accordent aussi avec celles que M. Fontaine exige dans la fonction y., à cela près que nous avons trouvé que la quantité X devait être égale à — i lorsque x = a, et que M. Fontaine suppose que la fonction or. soit égale à i lorsque tr = «; mais il faut observer que, comme l'équation de M. Fontaine dont nous venons de parler contient la quantité v. ou ses différentielles dans tous les termes, on y peut supposer également c/. positif ou négatif; ainsi, si l'on mol dans notre équation (F) — a à la place de X, on aura également l'équation de M. Fontaine, ef alors les conditions de a et de X seront les mêmes chez lui et chez nous.
24. Si donc M. Fontaine s'en était tenu à sa première équation, il aurait pu en tirer une solution générale du Problème des tautochrones-, mais il aurait dû, pour cela, distinguer les deux cas on cette équation est identique et où elle ne l'est pas, comme nous l'avons fait dans les Problèmes précédents. Or nous avons vu que le premier cas ne penl avoir lieu que lorsque la force/) est exprimée ainsi
. d\ ï dx
ce qui revient à notre Solution de i7<>7, où nous étions parti de la supposition (pie le temps devait être une fonction de dimension nulle de deux fonctions pareilles, l'une de x el l'autre de a (13).
Ainsi, en supposant que l'équation de M. Fontaine doive être identique, il est clair que sa Solution ne saurait être pins générale que la mienne de ï 7^>7 ; mais ma Solution a sur la sienne l'avantage de présenter dans nue seule formule générale tous les cas dans lesquels le Problème «'st résoluble, et c'esl en quoi consiste principalement le mérite
de celte Solution, si (die en a quelqu'un.
.Mais si l'on veut (pie l'équation de .M. Fontaine ne soil pas identique, alors on aura encore deux autres équations analogues à celles «pie nous avons données dans \r n° 1 i, de sorte que dans ce CftB on ;iura necessai-
rement trois équations qui seront les mêmes que celles du numéro cité, en y mettant simplement a à la place de X.
En général, soit la première équation de M. Fontaine représentée par
on aura nécessairement, dans le cas où cette équation n'est pas identique, les deux équations
il t il — o il ': il ~ 0
dx 11 du ' da u du
ou
da
et ces deux équations devront être identiques avec l'équation «7 = 0: autrement, le cas dont il s'agit ne pourra pas avoir lieu.
25. Voyons maintenant ce que donne la seconde équation de M. Fontaine. Il est facile de voir que cette équation se réduit à celle-ci
dq
d2p à cause que M. Fontaine suppose , •; =0 et que « ne doit point contenir u; de sorte qu'on aura, suivant M. Fontaine,
dq
q = o el -p- = o.
^ du
Or je dis (pue cela ne saurait avoir lieu que lorsque l'équation y = o esl identique; car si cette équation n'est pas identique, il faudra que l'on ait en même temps, comme nous venons de le dire ci-dessus,
il R. il - 0 et %. — - d(i = ., : dx u du da u du
donc si l'on fait — - = o, il faudra faire aussi ~ = o et -r- = o, ce qui
au dx da '
exige que l'équation q — o soit identique, c'est-à-dire qu'elle n'exprime aucune relation entre les trois variables x, // et a.
SUR LES TAUTOCHRONES. 185
De là, et de ce que nous avons dit plus haut, il s'ensuit que les deux équations que M. Fontaine donne pour la solution générale du Problème des tauloehrones ne sauraient jamais fournir une solution plus générale que celle qui est renfermée dans ma formule de 1767, que M. Fontaine accuse d'être trop particulière. Aussi l'application que M. Fontaine prétend faire de ses équations au cas où la force p serait exprimée par
a -+- gu -+- lui1 -4- ku3,
g, h et k étant des constantes et n une fonction de x, est illusoire et fautive, comme il est facile de s'en convaincre, avec un peu de réflexion, d'après les remarques que nous venons de faire sur ce sujet.
26. .le dois remarquer encore, quoique ceci n'ait aucun rapport au Problème des tauloehrones, que M. Fontaine ne s'exprime pas exactement quand il dit qu'il a appris aux Géomètres les conditions qui rendent possibles les équations différentielles du premier degré à trois variables. Il me semble que les Géomètres les connaissaient longtemps avant que M. Fontaine fut en état de les leur enseigner. Car on trouve dans un Mémoire de M. Nicolas Bernoulli sur les Trajectoires, imprimé en partie dans les Actes de Leipsic de l'année 1720, en partie dans le tome VII des Suppléments, qui a paru en 1721, et réimprimé ensuite dans le second volume des Œuvres de M. Jean Bernoulli, on trouve, dis-je, dans ce Mémoire, le Théorème suivant :
Si ion a l'équation <lx = pdy -+- qda, p et q étant des fonctions de x, y et a, et qu'on suppose, en général, dp -=Tdx -hSdy -hRda, on aura nécessairement, en regardant a comme constante, l'équation
dq — Wdy -+- Tq dy,
laquelle servira à déterminer q. {Voyez les pages 3iî et 3l2 des Suppléments nies a la page 443 du tome II des Œuvres de M. Jean Bernoulli. ) Or si l'on suppose qu'en regardant a comme constante on ait, en général,
dq Pda 1 Qdy, III. 24
186 NOUVELLES RÉFLEXIONS SUK LES TAUTOCHRONES. el qu'on mette au lieu de doc sa valeur pdy, on aura
dq = \>p -h Q ) dy,
ce qui, étant substitue dans l'équation de M. Bernouïli, donnera celle-ci
qui est l'équation de condition de M. Fontaine.
On voit par là que ce Théorème n'était pas nouveau le 19 novembre 1738, lorsque M. Fontaine le publia à Paris, comme il le dit à la page 28 du Recueil de ses OEuvres. On doit dire la même chose du Théorème de M. Fontaine qui concerne les fonctions où les variables remplissent partout le même nombre de dimensions; car on voit que .M. Euler avait déjà fait usage de ce Théorème dans le second volume de sa Mécanique imprimée en 1736, pages 49. 252 et 224. Je ne nie pas, au reste, que M. Fontaine n'ait trouvé ces Théorèmes de lui-même : du moins je suis persuadé qu'il était aussi en état que personne de les trouver; mais on ne saurait disconvenir, ce me semble, qu'il n'ait été prévenu là-dessus par MM. Bernouïli et Euler.
