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(Noi/veai/.T Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles- Lettres de Berlin, année 1770.)

C'est un Théorème connu depuis longtemps <juo tout nombre entier non carré peut toujours se décomposer en deux, ou trois, ou quatre carrés entiers; mais personne, que je sache, n'en a encore donné la démonstration. M. Bachet de Méziriac est le premier' qui ait fait mention de ce Théorème; il parait qu'il y a été conduit par la question 3ie du IVe Livre de Diophante, où le Théorème dont nous parlons est en quelque sorte tacitement supposé; mais M. Bachet s'est contenté de s'assurer de la vérité de ce Théorème par induction, en examinant successivement Ions les nomhres entiers depuis 1 jusqu'à 32r); et quant à la démonstration générale, il avoue qu'il n'avait pas encore pu y parvenir. « Mihi sane Mit-il dans son Commentaire à la question citée) perfecta id demonstratione asset/ui nondum licuit, quam qui proferel maximas ei habebo grattas, prœsertim cum non solum in hue quœstione sed et in nonnuUis libti quinti hoc supponerevideatur Diophantus. > Je ne connais, jusqu'à présent. que deux Auteurs qui se soient appliqués à cette recherche, savoir

M. Fermai et M. Knler. Dans les Notes (pie le premier ;i ajoutées an

Commentaire de Bachet sur Diophante, il annonce on grand Ouvrage

qu'il avait dessein de composer sur la théorie des nomhres, cl il promet

d'y démontrer cette proposition générale : que tout nombre est, ou triangulaire, ou composé de deux ou de trois nombres triangulaires; qu'il est, ou carré, ou composé de deux, ou de trois, ou de quatre carrés, et ainsi de suite; mais cet Ouvrage n'a jamais paru, et dans tout ce qui nous reste des écrits de ce grand Géomètre, on ne trouve absolument rien qui puisse fournir la moindre lumière pour la démonstration dont il s'agit. A l'égard de M. Euler, si son travail sur ce sujet n'a pas eu tout le succès qu'on pourrait désirer, on lui a du moins l'obligation d'avoir ouvert la route qu'il faut suivre dans ces sortes de recherebes. On peut voir dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg le résultat des tentatives ingénieuses que ce grand Géomètre a faites pour parvenir à démontrer le Tbéorème de M. Bachet.

M. Euler fait voir que le produit de deux, ou de plusieurs nombres, dont chacun serait composé de quatre carrés entiers, sera aussi toujours composé de quatre, ou d'un moindre nombre de carrés entiers; d'où il suit d'abord que si le Tbéorème proposé peut être démontré.pour tous les nombres premiers, il le sera aussi pour tous les autres nombres. M. Euler démontre, de plus, qu'un nombre premier quelconque étant proposé, on peut toujours trouver deux ou trois nombres carrés dont la somme soit divisible par ce nombre sans que chacun des carrés en particulier le soit, et que ces nombres carrés peuvent toujours être supposés tels que le quotient de la division de leur somme par le nombre premier donné soit moindre que ce même nombre. De là M. Euler conclut, avec raison, que le Théorème en question serait démontré pour tous les nombres premiers si l'on pouvait seulement démontrer cette autre proposition, savoir, que lorsque le produit de deux nombres est la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés, et que l'un des nombres produisants est pareillement la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés, l'autre produisant le sera de même. « Si summa quatuor quadratorum (dit-il, page 55 du volume cité] a2 -+- b- ■+- e- ■+- d- fuerit divisibilis per summam quatuor quadratorum p1 -+- q- -+- r- -h s'2, tum quolum non soliun m fractis sed etiam in integris esse summam quatuor quadratorum. est Theorema elega/itissimum Fermatii, cujus demonstratio eum ipso nohis

est erepta ; fateor me adhuc liane demonstrationem invenire non potuisse, etc. »

C'est donc cette dernière proposition seule qu'il s'agit de démontrer. Or pour cela nous n'aurons pas besoin de supposer que le diviseur soit aussi représente par la somme de quatre carrés, et nous démontrerons, en général, que tout nombre premier qui est diviseur d'un nombre quelconque composé de quatre ou d'un moindre nombre de carrés, sans l'être de chacun des carrés en particulier, est nécessairement aussi composé de quatre ou d'un moindre nombre de carrés; après quoi il n'y aura plus rien à désirer pour la démonstration complète du Théorème général de Bacbet, que nous nous sommes proposé de donner dans ce Mémoire.

Lemme.

Les nombres qui son/ la somme de deux carres premiers entre eux n'admettent d'autres diviseurs que ceux qui sont pareillement la somme de deux carrés.

Cette proposition, qui est de M. Fermât, a été démontrée par M. Kuler dans un Mémoire imprimé dans le tome IV des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.

Corollaire I. — Si deux nombres égaux chacun à la somme de deux carrés, tels (pic jr - q2 et r2 -+- s'2, sont divisibles par un même nombre p, cl (pie les quatre carrés /r, q2, r2. s2 n'aient aucun diviseur commun, je

dis que les deux quotients ' ' r/ seront aussi chacun égaux a

la somme de deux carrés.

Car soit m la plus grande commune mesure de p et q. et // la plus grande commune mesure de ret s, de sorte qu'en faisant

p~ mp', q = mq', /• nr' , s us'

les nombres// et q' soient premiers entre eux, comme aussi les nombres r' et s' entre eux; on aura donc les deux nombres n>2 p"2 l q'2 el

n2 ( r"2 -+- s'2 ) qui seront divisibles à la fois par p. Or je remarque d'abord

que m et // seront premiers entre eux; autrement les quatre nombres p, q, ret s auraient une commune mesure, ce qui est contre l'hypothèse. Maintenant soit [j. la plus grande commune mesure entre m2 et p, en

sorte que l'on ait p = jj.p', et que p' soit premier à — ; donc m2 sera divi-

sible par 11, et il faudra que//2 -h q'2 le soit par p', de sorte qu'on aura

or/?' et q' étant premiers entre eux, il suit du Lemme précédent que tant le diviseur p' que le quotient seront la somme de deux carrés; ainsi l'on aura

Soit de plus v2 le plus grand l'acteur carré du nombre a, en sorte que p. = v2\j' , \j' étant un nombre qui ne soit divisible par aucun carré, et il est clair que m2 ne pourra être divisible par p. à moins que m ne le soit par v/j.'; soit donc m = Kvp/, et l'on aura

ni* . - ,

Or ri1 (r'2 -h s'2) doit être aussi divisible par p = jxp'; donc \x divisera ri1 (V2 + s'2); mais jx divise déjà m2; donc, puisque m2 et n2 sont premiers entre eux, il s'ensuit que jasera aussi premier à n2 ; par conséquent il faudra que \x divise r'2 -+- s'2; et comme p. = v2p.', p.' sera aussi un diviseur de r'2 -h s"1; donc, puisque r' et s' sont premiers entre eux, le diviseur ul sera égal a la somme de deux carrés par le Lemme. Faisant donc

k2ty2-f- ô2);

î) = Ks(ya-f-âp)1H-K2(y(3 — èa \

c'est-à-dire égal à la somme de deux carrés. On démontrera de la même

r2 -I- s2 manière que le quotient sera aussi égal à la somme de deux carrés.

jx'= 72 -t- d2, on aura

et de là

Corollaire II. — Si la somme de deux carrés est divisible par une autre somme de deux carrés, le quotient sera toujours égal à la somme de deux carrés.

Car soit «'- -f- b- divisible par c2 + d'~, et si les nombres a, b, c, d ont une commune mesure, dénotons-la par /, en sorte que l'on ait

a = lp, b = lq, c = //•, d = Is,

et que/?, (7, r, * n'aient aucun commun diviseur; doue on aura

de sorte que p- -+- q- sera divisible par r2-W2; or, taisant r2-\-s'i = p,

on aura par le Corollaire précédent ' égal à la somme de deux

carrés; donc, etc.

Théorème I.

Si la somme de quatre carrés est divisible par un nombre premier plus grand que la racine carrée de la même somme, ce nombre sera nécessairement égal à la somme de quatre carres.

Car soit/?2 -+- q~ -+- r2 -h s'- divisible par A, A étant un nombre premier, en sorte que l'on ait

ef comme on suppose que le diviseur A est plus grand que

il est clair que le quotient a sera plus petit que la même racine, de sorte qu'oïl aura a ■ A.

Cela posé, si les nombres p, q, r et * onl un diviseur commun d, il est

clair que la somme de leurs carres sera divisible par d2, et qu'ainsi il

faudra que Aa le mhI aussi; or d2 étant plus petit que A/7, d sera plus

petit que \ A a A, a cause de A a ; donc, puisque A PSl premier b\ po-

thèse), il est clair que A et d seront premiers entre eux; d'où il s'ensuit que A a ne pourra être divisible par d'2 à moins que a ne le soit; ainsi. divisant tant le nombre a que chacun des carrés/?-, </-,... par d-, on aura une équation de la même l'orme que la précédente, où le coefficient a sera toujours plus petit que A et où les quatre carrés/?2, q2, r2, s2 n'auronl plus de commun diviseur.

Considérons donc l'équation

Art =p2 + q> + r3 -t- sJ

comme déjà réduite à cet état, et si le nombre p1 -+- q1 n'est pas premier à a, soit p leur plus grande commune mesure, en sorte que l'on ;iit

a = bç> et, p f -f- q1 = tp,

b et t étant premiers entre eux; on aura donc

A/>p = tp -+- r- -+- s1,

d'où l'on voit que r'2 -h s* doit être aussi divisible par p, de sorte que, nommant le quotient u, l'équation deviendra

or, puisque p divise tant p2 -+- q'2 que r2 -f- s'2, et que p, q, r et s n'ont aucun diviseur commun, il s'ensuit du Corollaire I du Leinme précèdent

(lue les quotients — — — = t et - = u seront l'un et l'antre la

somme de deux carrés; ainsi l'on aura

t = ni- -f- «2 et u = h' -+ /-' ;

donc, multipliant toute l'équation par /, on aura

\bt = /2+ tu,

ou bien, en faisant œ — mh -+• ni et y = ml — nh, en sorte que tu =x'2 -t- v'. on aura cette équation-ci

Maintenant, comme l> et / sont premiers entre eux, on peut toujours trouver deux multiples de b et t tels que leur somme ou leur différence soit égale à un nombre quelconque donné, et de plus on peut supposer

que l'un de ees multiples soit moindre que — [voyez le Lemme I (\u

Mémoire sur les Problèmes indétermines, qui est imprimé dans le tome XXIV des Mémoires de /'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pour l'année 1768 *, : ainsi l'on peut faire

x=^oct-hy/> el y=$t + 8b,

y, fi, y et 0 étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et l'on peut supposer en même temps que y et fi, pris positivement, soient l'un et

l'autre [dus petits que -• Qu'on fasse donc cette substitution dans l'équation précédente, (die deviendra

A.bt = t*(i -+■ y.' + (32 ) -f- 9.x/ th + 7.fiotl> 4- -fh1 -4- frb\

où l'on voit que tous les termes sont multipliés par b, à l'exception de ceux-ci

ainsi, pour que cette équation puisse subsister en nombres entiers comme il le faut, il est nécessaire que /2(i + z2 + fr) soit aussi divisible par b; mais b et / sont premiers entre eux, donc il faudra que b divise 1 a2-t- [j'~, de sorte qu'en nommant le quotient a on aura

et comme y el f sont chacun plus petits que • H y.'1-' f>'2 sera plus

petit que — h 1 ; par conséquent a sera plus petit que — h y ■

Or, mettant dans l'équation ci-de88US a'b à la place de 1 -i y~ ■ jSa, el divisant ensuite par b, ou aura

W a't'-ï- -ixyt -4- ?.(3o/ -+- -/'-l-o- b, ■ OEuvres 1I1 Lagrange, 1. Il p. 65g

où je remarque encore que tous les termes étant multipliés par/, excepté

ceux-ci

il faudra que le nombre (y- -h ô2j b soit divisible par /, et comme b et t sont premiers entre eux, il faudra que -f h- 52 soit divisible par /.

Si l'on multiplie l'équation que nous venons de trouver para', elle pourra se mettre sous cette forme

\a't = (a't -+- xy -+- (3â)'- -t- [y2-+- è2 ,a'l> - xy + |3â -',

ou bien sous celle-ci

Art'/ = [a't 4- xy -+- (3ô)2-f- y2{a'b — x1 ) -+- d'ia'b — £2 — ia.{hy&;

mais on a

donc l'équation précédente deviendra

\a't = [a't -h xy + (3 o i2 -h y2\\ + (32j + â2{\ -+- x2 1 — ->.x$ y o,

c'est-a-dire

ka't = (a't -f- xy + (3ôj2-f- ( [3 y — xdf2-h y2 -f- à2.

Or nous avons dit ci-dessus que y2 -f- iï2 doit être divisible par /, donc il faudra aussi que le nombre

a't -+- xy + f3ô ? -t- ! (3 y — aô )a le soit; mais on a

t = m2 -f- ri2,

donc, par le Corollaire II du Lemme, chacun des deux quotients sera nécessairement la somme de deux carrés; de sorte qu'on aura

-/'-' + o2= t\p'2-\- </'-) et [a't -t- xy + j3ô)'J-t- i (3 y — «o ,2 — l\r'2^- s"2..

Donc on aura, après avoir divisé toute l'équation par /,

II s'ensuit de là que si ka est la somme de quatre carrés, \a sera aussi

la somme de quatre carrés, a' étant plus petit que - + t et a = bp; ainsi

si a est plus grand que i , a' sera nécessairement plus petit que a: et, si a' est encore plus grand que i, on prouvera de la même manière que ka" sera aussi la somme de quatre carrés, a" étant plus petit que a'; cl ainsi

de suite; donc comme les nombres a, a', a" sont des nombres entiers,

dont aucun ne peut être égal à zéro (à cause que ces nombres sont des diviseurs des nombres i-t-ir-h/S2, i -h a"2-i-/3'-,... qui, comme on voit, ne peuvent jamais devenir nuls), et que ces nombres vont en diminuant, il est clair qu'on parviendra nécessairement à un de ces nombres qui sera égal à l'unité, et alors on aura A égal à la somme de quatre carrés entiers.

Corollaire. — Si un nombre premier quelconque est un diviseur de lu somme de quatre carrés qui n'aient point de commun diviseur, ce nombre sera aussi la somme de quatre carrés.

Car nommant, comme ci-dessus, A le nombre premier donné el p- ■+- q1 -f- /■'-'-+- s'1 le nombre composé de quatre carrés qui csl divisible par A, il est clair que, si chacune des racines //, q, r, s étail moindre

que —5 on aurai!

de sorte que A sérail plus grand que \/r -(- q- -f /- -h s- comme on l'a suppose dans le Théorème précèdent ; donc, etc.

Or je dis que quels que soienl les nombres />, q,. ., on peul toujours \r> réduire à être moindres que ; car soit, par exemple. /> — ) il esi visible que si p1 q- r2 h- s2 est divisible par Ai p — mAj'+^+r'+j' le sera aussi, de même que mA—p)2-\-qi-\-r2-4-s2, quel que soii le nombre///; or on peut toujours prendre m Ici que /> ///A OU m \ />

soii moindre que ; donc il n'y aura qu'à mettre au lieu «le// le nombre

p — mA ou ///A p: et l'on fera la même chose par rapport aux autres

nombres s'ils se trouvent plus grands que — • Si p était divisible par A on aurai!

de sorte que dans ce cas il faudrait mettre o à la place de p\ il en serait de même à l'égard de q s'il était aussi divisible par A, et ainsi des autres; mais comme on suppose que p, q, r et s n'ont aucun diviseur commun, ils ne peuvent pas être tous divisibles à la fois par A, et même il ne pourra pas y en avoir plus de deux qui le soient; autrement il faudrait que tous quatre le fussent; de sorte qu'il n'y a pas à craindre que, par ces réductions, le dividende p- -h q- -h r- -h s'2 devienne nul.

Remarque. — Au reste il est clair que la démonstration du Théorème précédent n'en subsistera pas moins si l'on suppose qu'un ou deux des quatre carrés qui composent le dividende soient nuls; d'ailleurs il peut aussi arriver qu'un ou deux des quatre carrés qu'on trouvera pour le diviseur A soient nuls; donc, en général, tout nombre premier qui divisera la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés entiers, pourvu qu'ils n'aient entre eux aucun diviseur commun, sera nécessairement égal à la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés entiers.

Théorème II.

Si A est un nombre premier et que Ji et C soient des nombres quelconques positifs ou négatifs non divisibles par A , je dis qu on pourra toujours trouver deux nombres p et q tels que le nombre p2 — Yiq2 — C soit divisible par A .

Car : i° Si l'on peut trouver un nombre q tel que Bq2 -+- C soit divisible par A, il n'y aura alors qu'à prendre/; divisible par A, ou bien p = o;

2" S'il n'y a aucun nombre qui étant pris pour q puisse rendre Bq2^-C divisible par A, faisons, pour abréger, B</J-^C = />, et supposant

P = p* ~3 -h bpK -5 + b2p* -' + ... -+- b ' ,

on aura

multiplions cette équation par b ' -\- \ que nous supposerons égal à Q,

el l'on aura

/>2-B<y2- CjPQ = Q !/>*-'— i :- [bK—— i .

Or, par le Théorème connu de Fermai, que M. Euler a démontré dans les Commentaires de Pétersbourg, on sait que si A est un nombre premier quelconque et a un autre nombre quelconque non divisible par A, ak~' — i sera toujours divisible par A. Donc, si l'on suppose que/? ne soit pas divisible par A, on aura les deux nombres <pK~ i et //"' — i divisibles à la fois par A, à cause que b n'est jamais divisible par A, quel que soit q hypothèse)^ Donc le nombre p- — - \\q- — C | PQ sera divisible par A, de sorte que, si ni P ni Q n'étaient divisibles par A, il faudrait que p1 — B</2 — C le lût, à cause que A est un nombre premier par l'hypothèse. Ainsi la difficulté se réduit à prouver que l'on peut toujours prendre p el <y tels que ni P ni Q ne soient pas divisibles par A, p ne l'étant pas non plus.

Pour cela je remarque d'abord que, quelle que soit la valeur de q, on peut toujours trouver une valeur de p plus petite que A el par conséquent non divisible par A, telle que P ne soit pas divisible par A. Car si l'on substitue successivement dans l'expression de P les nombres i.

2, 3 jusqu'à A — a inclusivement à la place de />, et qu'on nomme P .

P", P P A ' les valeurs résultantes de P, on aura, par la théorie

connue des différences,

l»'- \ ; l"' h V - liip* ... r * ») 1.2.3.4. ..(A — 3).

Or, si tous les nombres P', P", P" jusqu'à P * 'étaient divisibles par A,

il faudrait que le nombre [.2. 3... \ -3 le lui aussi: ce qui ne pouvant être à cause que A esl premier, il s'ensuit que parmi les nombres P', p p a->; jj g»en |,.u,m,,.;, nécessairement quelqu'un qui ne sera pas

divisible par A ; donc, etc.

.Ainsi il ne reste plus qu'à prouver que l'on peut toujours prendre q tel

que Q ou (Bq- -h G) -+- r ne soit pas divisible par A.

Soit, pour plus de simplicité, - = m, et l'on aura

Q &"qK-' -h m B"< ' qx~3C -h m ' m ~ ' B"-'gA-5Ca + . . . -f- mBq'Q"^ -+- C + i .

Or si C" -f- r n'est pas divisible par A, il est clair qu'il n'y aura qu'à prendre q divisible par A, ou bien q == o; car alors Q ne sera pas divisible par A.

Mais si C/B+ i est divisible par A, alors pour que Q ne le soit pas, il faudra que q ne le soit pas, et que la quantité

B'" r/A ~ ' -+- ah B"-1 qK ~ ' C -f- ■ - B"-- qk~ ' C2 + . . - + m B C'"-'

ne le soit pas non plus; or on peut démontrer, comme plus haut, qu'il doit nécessairement exister une valeur de q plus petite que A et par conséquent non divisible par A, telle que la quantité dont il s'agit ne le soit pas. Car nommant R cette quantité, et désignant par R', R", R",..., R'*-'' les valeurs de R qui résulteraient de la substitution des nombres i , 2, 3,. . . , A — 2 à la place de q, on aura

R'-(A-3)R"-t- ( A ~ 3 ' ( A ~ ^ R"'- ■ ■ . -f- RA~' = i .a. 3. ... A - 3 B".

Or comme A est premier et que R n'est pas divisible par A, il est clair que le nombre i. 2.3. . .f A — 3) R'" ne lésera pas non plus; donc, etc.

Corollaire I. — Si l'on fait B = — i et C— — i, on aura le nombre />- ■+- q2 -+- 1 qui sera divisible par A; d'où il s'ensuit qu'étant donne un nombre premier quelconque on peut toujours trouver un nombre égal à lu somme de trois carrés entiers dont l'un soit même l'unité, lequel soit divisible par le nombre premier donné.

Ce Théorème a déjà été démontré par M. Euler d'une autre manière, dans le tome Y des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg; mais pour

ne rien laisser à désirer à nos lecteurs nous avons cru devoir le démontrer de nouveau, d'autant plus que noire démonstration a l'avantage d'avoir une très-grande généralité.

Corollaiku II. — Combinant donc le Théorème précédent avec celui de Ja Remarque qui est après le Théorème I, on en déduira celle-ci : que tout nombre premier est nécessairement égal à la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés entiers. D'où il est aisé de conclure que tout nombre entier est aussi égal à la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés entiers; car on sait que le produit de deux, ou de plusieurs nombres égaux chacun à la somme de quatre, ou d'un moindre nombre de carres, est aussi nécessairement égal à la somme de quatre, ou d'un moindre nombre de carres; en efl'et on a

/;- tj- - - r- s' //-' ij'-

— Pl} l'ï ~ rr ss' '

pq' + qp'

rs'

sr' -

— pr' qs' rp' sq' '

qr' ps'

sp>

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et même plus généralement

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