RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS

[Nouveaux Mémoires (le /' {endémie nivale des Sciences et Belles-Lettn

de Berlin, années 1770 et 1771 (**).]

La théorie des équations est de toutes les parties de l'Analyse celle qu'on eût cru devoir acquérir les plus grands degrés de perfection ci par son importance et par la rapidité des progrès que les premiers inventeurs y ont faits; mais quoique les Géomètres qui sont venus depuis n'aient cessé de s'y appliquer, il s'en faut beaucoup que leurs efforts aient eu le succès qu'on pouvait désirer. On a à la vérité épuisé presque tout ee qui concerne la nature des équations, leur transformation, les conditions nécessaires pour que deux ou plusieurs racines deviennent égales, ou aient entre elles un relation donnée, cl la manière de trouver ces racines, la forme des racines imaginaires, el la méthode de trouver la valeur de celles qui, quoique réelles, se présentent sous une forme imaginaire, etc. On a aussi découvert des règles générales pour reconnaître si toutes les racines d'une équation sont réelles ou non, cl pour savoir dans le premier cas combien il doit \ en avoir de positives et de négatives; mais on n'a jusqu'à présent aucune règle générale pour connaître

(*) Ce Mémoire a ('-lé lu a I \ra<lémie dans le romani île l'année 1771

'* l.e> deux premières Sections 'le <i' Mémoire onl été insérées dans le volume île 1770. le- suivantes dans le volume de 1 — 1. Vote ,1, l'Editeur.

le nombre des racines imaginaires dans les équations qui doivent en contenir, et moins encore pour savoir combien il doit y en avoir de réelles positives et de réelles négatives, lorsqu'on connaît d'ailleurs le nombre des réelles et des imaginaires; on n'a pas même une règle pour pouvoir s'assurer si une équation quelconque proposée doit contenir quelques racines réelles ou non, à moins que l'équation ne soit d'un degré impair, ou que son dernier terme ne soit négatif.

Ce n'est pas qu'on ne puisse toujours trouver le nombre des racines imaginaires et des racines réelles positives, ou négatives, lorsqu'on connaît la valeur numérique des coefficients de l'équation proposée; les méthodes que j'ai données ailleurs, tant pour cet objet que pour approcber autant que l'on veut de la valeur de chaque racine, ne laissent, ce nie semble, rien à désirer; mais il s'agit ici des équations littérales, et la question est de trouver les conditions qui doivent avoir lieu entre les différents coefficients d'une équation d'un degré donné, suivant la qualité de ses racines.

A l'égard de la résolution des équations littérales, on n'est guère plus avancé qu'on ne l'était du temps de Cardan, qui le premier a publié celle des équations du troisième et du quatrième degré. Les premiers succè> des Analystes italiens dans cette matière paraissent avoir été le terme des découvertes qu'on y pouvait faire; du moins est-il certain que toutes les tentatives qu'on a faites jusqu'à présent pour reculer les limites de cette partie de l'Algèbre n'ont encore servi qu'à trouver de nouvelles méthodes pour les équations du troisième et du quatrième degré, dont aucune ne parait applicable, en général, aux équations d'un degré plus élevé.

Je me propose dans ce Mémoire d'examiner les différentes méthodes (jiic Ton a trouvées jusqu'à présent pour la résolution algébrique des équations, de les réduire à des principes généraux, et de faire voir à priori pourquoi ces méthodes réussissent pour le troisième et le quatrième degré, et sont en défaut pour les degrés ultérieurs.

Cet examen aura un double avantage : d'un côté il servira à répandre une plus grande lumière sur les résolutions connues du troisième et du

quatrième degré; de l'autre il sera utile a ceux qui voudront s'occuper de la résolution des degrés supérieurs, en leur fournissant différentes vues pour cet objet et en leur épargnant surtout un grand nombre de pas et de tentatives inutiles.