DE LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ

1. Comme la résolution des équations du second degré est très-facile, et n'est d'ailleurs remarquable que par son extrême simplicité, j'entrerai d'abord en matière par les équations du troisième degré, lesquelles demandent pour être résolues des artifices particuliers qui ne se présentent pas naturellement.

Soit donc l'équation générale du troisième degré

x3 -+- mx2 ■+- nx -+- j» = o,

cl tomme on sait qu'on peut toujours faire disparaître le second ternie de toute équation en augmentant ses racines du coemciëni du second terme divisé par l'exposant du premier, on pourra supposer d'abord, pour plus de simplicité, m = o, ce qui réduira la proposée à la forme

x3 -+- nx -+■ p = o.

C'esl dans cet étal que les équations du troisième degré oui été d'abord

traitées par Scipio Ferreo et parTarlalea, ;i qui l'on doit leur résolution; mais on ignore le chemin qui les y a conduits. La méthode la plus naturelle pour y parvenir me parait celle que Hudde a imaginée, et qui consiste à représenter la racine par la somme de deux indéterminées qui permellenl de partager l'équation en deux parlies propres il l'aire en sorte

que les deux indé terminées ne dépendent que d'une équation résoluble

à la manière de celles du second degré.

Suivant cette méthode on fera donc r — y -+- z, ce, qui eiani substitué

dans la proposée la réduira à celle-ci

y3 -h 3y'z 4- 3>\z2 H- z3 -k- n[y -\- z) -+- p o, qu'on peut mettre sous cette forme plus simple

Qu'on tasse maintenant ces deux équations séparées

3r^ -+- n = o, on aura

t, substituant dans la première,

c'est-à-dire

yb -V- ny3 == o.

Cette équation est à la vérité du sixième degré, mais comme elle ne renferme que deux différentes puissances de l'inconnue, dont l'une a un exposant double de celui de l'autre, il est clair qu'elle peut se résoudre comme celles du second degré. En effet, on aura d'abord

et de là

Ainsi l'on connaîtra y et s, et de là on aura

2. 11 se présente différentes remarques à faire sur cette solution. D'abord il est clair que la quantité/ doit avoir six valeurs, puisqu'elle dépend d'une équation du sixième degré; de sorti; que la quantité x aura aussi six valeurs; mais comme x est la racine d'une équation du troisième degré, on sait qu'elle ne peut avoir que trois valeurs différentes;

donc il faudra que les six valeurs dont il s'agit se réduisent à trois, donl chacune soit double. C'est aussi de quoi on peut se convaincre par le calcul, en éliminant r des deux équations

«3 ii

)" t pyi — 0 x - y — — ■

Supposons, pour plus de généralité,

x y — ou bien r:' — xy — /f = o,

on aura donc

y2 xy -4- k,

et de là

y3 = xy* + ky = y f xl -+- k ) -4- kx,

y» — j2 î x- + k )'' -f- 2 foc ( x'1 -+- k ) y -t- k' x'

yx ( x1 -t- k | {x1 -+- 3 k) -4- A.r4 + 3 /. 2.r- 4- /. 3.

Substituant donc ces valeurs de v:t et y0, on aura

)• r • /, .r3 -4- 3 kx -f- » -4- kx x* -h 3 A\r -4- o -4- /r3 — - — o. ' ' 27

Soit, potir abréger,

A1 /> et x3 -4- 3/i.r /; = \,

on aura

d'où

kx \

' , ■/, ' de sorte qu'en substituant maintenant celle valeur de v dans l'équation

on aura

( ' /-•> •) ' ( ' /..') sr' 4- *•) /. a: h ...

ce qui se réduit à

I, ' X2 -4- h X x | x1 -+- 3 h ) — li' o,

ou bien, à cause de x {x- -h 3£) = X— />, à

— Xs-fy>X — À2 o,

c'est-à-dire à

Maintenant il est clair qu'en faisant £ = - pour avoir x=y — — ou aura h = o, ce qui réduira l'équation précédente à

savoir

équation qui aura les mêmes racines que la proposée, mais dont chacune sera double.

De là il s'ensuit que la résolution d'une équation du troisième degré est, à proprement parler, la résolution d'une équation du sixième degré, inconvénient qui n'a pas lieu dans le second degré, dont la résolution est tout à fait propre à ce degré, mais qui devient encore plus considérable pour les équations des degrés supérieurs, comme on le verra plus bas.

3. Puis donc que parmi les six valeurs de y il n'y en a que trois qui donnent des valeurs différentes de x, il s'agit maintenant de distinguer ces valeurs. Pour cela il faut trouver l'expression particulière de chacune des srx valeurs de y: et si l'on nomme i , y. et [i les trois racines cubiques de l'unité, c'est-à-dire les trois racines de l'équation xx — i = o, il est facile de voir que les six valeurs de v seront, en faisant, pour abréger,

Iq, *\J-

de là les valeurs correspondantes de z — .— 5— seront, à cause de

et par conséquent

ces valeurs seront, dis-jo.

\/-f+v^ ï\hi^fà l\J-

Or, sans connaître même les valeurs de y. et de /3, il est facile de s'assurer que aj3 doit être égal à 1; car puisque 1, a et |3 sont les trois racines de l'équation a?3 — 1 = = o, on aura donc leur produit \.y..[6 égal au dernier

terme 1 ; donc y.[l = 1 ; donc - = (3 et -x = a; de sorte que les trois valeurs

ci-dessus deviendront

Donc, puisque 3?=^ + z, on aura, en ajoutant ensemble les valeurs correspondantes de v et de z.

\ ft»

où il est facile de voir que, des signes ambigus de \*y soil qu'on prenne

le supérieur ou l'inférieur, on aura toujours les trois mêmes valeurs de r .

De là il s'ensuit donc que l'on peut prendre indifféremment le radi-

cal s/g en plus ou en moins, et que les trois racines (Je l'équation proposée résulteront immédiatement des trois valeurs du radical cubique

\. Nous avons t'ait voir (2) que la résolution de toute équation du troisième degré appartient essentiellement à une équation du sixième degré; cependant si l'on voulait délivrer l'équation

des radicaux, on tomberait dans une équation du neuvième degré; car en prenant d'abord les cubes on aurait

et prenant de nouveau les cubes, après avoir fait passer dans le premier membre le terme — p, on aurait

c'est-à-dire, à cause de -. — <7= -

4 ' on

x» -+- 3px6 -+- ( 3 p7 -f n3 ) x3 -f p3 -- o.

Mais il faut remarquer que cette équation renferme, outre les trois racines de la proposée se3 -h nx-\-p = o, encore six autres étrangères: en effet elle peut se décomposer en ces trois-ci

x3 -4- nx -f- p — o, x3 -f- oenx -h p =z o,

dont les deux dernières sont, comme on voit, différentes de la proposée; ainsi l'on ne peut rien conclure de cette équation pour le degré auquel

doit se rapporter la résolution des équations du troisième degré, comme nous l'avons fait plus haut (2), d'après l'équation X2 = o, laquelle renferme toutes les mêmes racines que la proposée.