L'équation du sixième degré

y -+- py3 - — = «

s'appelle la réduite du troisième degré, parce que c'est à sa résolution que se réduit celle de la proposée

x3 -+- nx -f- p = o.

Or nous avons déjà vu plus haut comment les racines de cette dernière équation dépendent des racines de celle-là; voyons réciproquement comment les racines de la réduite dépendent de celles de la proposée; mais pour rendre cette recherche plus générale et plus lumineuse il sera hou de considérer une équation qui ait tous ses termes telle que

x3 4- mx2 -+- nx -f- p = o, et dont les racines soient représentées généralement para, b, c. On commencera donc par faire évanouir le second terme en supposant x = x - et, faisant, pour abréger,

on aura la transformée

nui 2 ni

qui a la forme requise. Faisanl maintenant a?'= y— .'- > on aura la ré

duite

d'où, ''n nommant r la racine cubique de

21i SUR LA RÉSOLUTION ALGÉRRIQUE

on aura ces trois valeurs de y, savoir

lesquelles donneront les trois racines

3 /• 5ar 6pr

d'où, à cause de x-~x' — —, on aura, en faisant, pour abréger, ^- — - s, ces trois valeurs de oc, savoir

m ni s m . 5

donc

Retranchant successivement la seconde et la troisième de ces équations de la première, on aura

a — c = (i — pi fr-t- ^

d'où l'on tire

ocr -+- s.

et retranchant de nouveau l'une de l'autre, ensuite divisant par « — |3, il

viendra

c'est-à-dire

a a.b fie

Or, i , y. et /3 étant (hypothèse) les trois racines de l'équation x* — \ =o, on aura

X* — I = x — i)(x — ot)(x — (3 ),

et différentiant

3^2^r(^ — ai(^ — (3) -f- (x — i) (x — (3) -1- [x — i) \x — a : de sorte qu'en faisant successivement x = i , «, jS, on aura

3a'::ia- i)(a— |3),

donc, substituant ces valeurs dans l'expression précédente de r, on aura

ou bien, à cause de î?]3 — c,

Telle est donc la valeur de r, et par conséquent aussi de y; de sorte qu'on aura en changeant, ce qui est permis, y en |3 et vice versa

a + ab-h&c

(>. On voit d'abord par celte expression de y pourquoi la réduite est nécessairement du sixième degré; car comme celle réduite ne dépend p;iN immédiatement des racines a. I>, <• de la proposée, mais seulement des coefficients m, //, //, où les trois racines entrent également, il est clair que dans l'expression de y on doit pouvoir échangera volonté les quantités a, />. c entre elles; par conséquent la quantité v devra avoir autant de valeurs différentes que l'on en pourra former par toutes les

permutations possibles dont les trois racines a, b, c sont susceptibles; or on sait par la théorie des combinaisons que le nombre des permutations, c'est-à-dire des arrangements différents de trois choses, est 3 . 2 . 1 ; donc la réduite en y doit être aussi du degré 3.2.1, c'est-a-dire du sixième.

Il y a plus : la même expression de y montre aussi pourquoi la réduite est résoluble à la manière des équations du second degré; car il est clair que cela vient de ce que cette équation ne renferme que les puissances/3 et y0, c'est-à-dire des puissances dont les exposants sont multiples de 3; en sorte que, si rest une des valeurs de y, il faut que a/et pren soient aussi à cause de «:l — 1 et jS3 = 1 ; or c'est ce qui a lieu dans l'expression de y trouvée ci-dessus. Pour le faire voir plus aisément nous remarquerons que (j = a2, car, puisqu'on a aj3=i et a3 — 1=0, on aura aussi a/3 = a3, et de là /3 ~ a2 ; de sorte que l'expression de y pourra se mettre sous cette forme

a -+- ceb -+- x'c

d'où, en faisant toutes les permutations possibles des quantités a, b, c, on tire les six valeurs suivantes

a + ac +

oc'

-+- aa -+- a

-h oeb -4-

c -4- aa -+-

où

qui seront donc les six racines de la réduite. Maintenant si l'on multiplie la première par v, et ensuite par /3 ou par a2, on aura, à cause de a3 = 1 ,

ces deux-ci

c -+- oc a -4- a2 /> /> + a c -+- a2 a

r — el 3 '

qui sont la sixième et la quatrième; et si l'on multiplie de même la seconde par y. el par a2, on aura

t+aa + a'c c + aft + a'a — 3 Gl —3 '

qui sont la troisième et la cinquième. Il en sera de même si l'on multiplie la troisième et la quatrième, ou la cinquième et la sixième par a et par a2, car on aura par là également toutes les autres.

7. Cela nous conduit à une méthode directe pour trouver la réduite d'où dépend la résolution des équations du troisième degré; car soit

x3 + mx2 -+- nx -+- p = o

l'équation proposée dont les racines soient a, b, c, et supposons que les

racines de la réduite soient représentées généralement par une fonction du premier degré des racines a, b, c, telle que

Aa-+- B6 + Ce,

\, lj, C étant des coefficients indépendants des quantités a, b, c; en taisant toutes les permutations possibles des quantités a, b, c, on aura

ces quantités

la + \il> + Ce,

A a -4- B c -4- ( l b , \ // 4- Brt 4- Ce,

\ // -+■ Bc -4- Ca, le t- B6 4- Ca, Ac + Bc/ -t- C6,

qui seront 1rs six racines de la réduite. Or, pour que cette équation n'ait

que des puissances donl les exposants soient multiples (\r >, il faut,

comme nous l'axons vu (dus liant, que, nommant r une de ses racines,