III. a

ocrel (i>r ou «2ren soient aussi; donc, prenant la quantité

\.a -\\b -h Ce pour r, il faudra que la quantité

soil égale à une des cinq autres quantités ci-dessus; or elle ne saurait

devenir égale à

ni à

A 6 H-Ba-^Cc

qu'en faisant a ----- 1 , car dans le premier cas on au rail

el dans le second

aC = C;

mais en la comparant à la quantité

A 6 h- Bc + C«,

on aura

aA — C, «B=^A et aC = B,

d'où l'on tire

C = aA, B = a2 A et a3 A = A ,

c'est-à-dire

ce qui montre que « doit être en effet une des racines de l'équation

ainsi en faisant, pour plus de simplicité, A — i, on aura

A = i, B = a et C = a2,

ce qui donne les mêmes formules qu'on a trouvées plus haut en faisant abstraction du dénominateur 3.

Faisant donc, pour abréger,

r = a -4- ocb -+- tx'c,

on aura /■, xr, «2re1 s, cts, a.2s pour les six racines de la transformée; or, nommant y l'inconnue de cette équation, on trouvera d'abord que le produit des trois facteurs y — r, y — ar, y — a-r sera y3 — r:!, et que de même le produit des trois autres sera y'1 — s'\ de sorte que le produit total, c'est-à-dire la réduite elle-même, sera représentée par

qui a la forme demandée. Il ne s'agit donc plus maintenant que de trouver les valeurs de r3 -+■ s:* et de /*' ,v;i : or, en élevant au cube la quantité /• et Taisant attention que a3 = i, on trouve

r3— a3 -+- b3 -4- c3 ■+- (> abc + S y. a'b 4- b-c 4- c'a) + 3aJ a6s + bc- -4- ca2 ,

et par conséquent, en changeant /; en c, on aura de même

s' -- «3 -r- b' -4- c3 -4- 6a6c 4-3z e/2r h c'i + ba r ïa-' c'a + b'c - aJ6 .

Soit, pour plus de simplicité,

on aura donc

dom

ni, I, , c'a = M, ^/Jc + 6» a <-l> Y

r»= L4 3a M 3aJN, *» = L -+- 3z\ + 3a M.

i s îL4-3(« + «1 M N

niais comme i , a et aa sont les trois racines de l'équation r' i o qui manque du second terme, on doil avoir

donc

Multipliant ensuite les valeurs de r3 et s* ensemble, on aura

/•3^=:L> + 9(M2-j-N2j + 3(a -ha2)[L(M + N) 4-3MN], ou bien, à cause de a -h sr = — i ,

/•!«3=:L[L- 3(M + Nj] +g[(M + N)2-3Mi\T];

or il est facile de voir que les quantités L, M + N et MN doivent être données par les coefficients m, n, p de la proposée, et cela sans extraction de racines, ce qui suit de ce que ces quantités ne changent point, quelques permutations des quantités a, b, c qu'on y fasse, de sorte qu'elles ne peuvent avoir chacune qu'une valeur unique.