En effet, ayant
— m = a 4- b -+- c, n = ab -+- ac + bc, — p = abc, on aura d'abord par les règles connues
ci- + b2 -h c- = m'2 — 2 n, a? + b* -+- c3 = — m3 + 3 nui — 3p, et l'on trouvera de là
a3b3 -+- a3c3 4- b3c3 = n3 — 3mnp -+- 3p2;
donc
L = — m3 -+- 3m« — gp,
M -i- N = 3p — mn,
MN = n3 -\- p (m3 — 6mn) +g/>2;
d'où l'on trouvera
/■3 + s3 = — 2 m3 -+- cjin?i — 27/7,
r3 s3 = m6 — 9 ni' n -+- 27 ni2 ri' — 27 n3 = ( m2 — 3 « |3,
de sorte que notre réduite sera
>•'■ -+- ( 2 w3 — gmn ■+- 27/) | j"3 + ni2 — 611 j3 = o,
<|iii revient au même que celle qu'on a trouvée plus haut (5), en faisant seulement attention que l'inconnue/ de celle-ci est triple de l'inconnue y
de celle-là. Résolvant donc cette équation a la manière de celles du second degré, ou bien faisant, pour abréger, j3 = z, en sort*1 que l'on ail
z2 -+- (2 m3 — ç)mn -+- 27^) z -+- ( m2 — 3/ir' = o,
et nommant z' et z" les racines de cette équation du second degré, on aura
r3 = z', y* = z", donc
y = v'-z' ou y = \jz" ;
par conséquent, puisqu'on a supposé que r et s étaient deux valeurs de y.
on aura
/• = a + oeb -f- «2c = y/z',
s = a -+- «c -f- a2 6 = yV',
équations qui étant combinées avec l'équation
serviront à trouver les trois racines a, b, c; en effet on aura, à cause de «:) = 1 et de 1 -h « -4- a2 = o,
— m -+- a J/ z' 4- a} ïfz"
T~ — ' ce qui s'accorde avec ce qu'on a trouve plus haut.
!). Il est ii propos de remarquer encore, pour éclaircir davantage cette matière, que les quantités M el N du n° 7 sont telles que rime devient toujours l'autre en y faisant une permutation quelconque entre les trois racines a, h, c, de sorte que ces quantités M et N ne peuvent être que les racines d'une équation du second degré. En effet, nommant / l'inconnue de cette équation, il est clair qu'elle aura nécessairement cette forme
• loue, substituant pour M -4-N et MN leurs valeurs trouvées ci-dessus S , mi aura
C — 3p — nui t ■+ ir -h m3 — 6/w/i /> - o,p- ~- o.
Ainsi l'on aura, par la résolution de celle équation, les valeurs de M et N: et comme d'ailleurs la quantité L est déjà donnée, puisqu'on a
L — — m3 H- 3 nui — yp,
on aura ies valeurs de r1 et de r (7 , ou bien celles de z' et s" 8 , les-
quelles seront donc
z1'- L-+-3aN -f- 3a2M.
et moyennant ces valeurs on aura celles des racines a, b, c, comme on l'a vu tantôt.
Au reste cette propriété des fonctions M et N fait voir clairement pourquoi la quantité
ne dépend que d'une équation du second degré, de sorte que l'équation en y ne peut renfermer que les puissances y3 et yu.
10. La résolution des équations du troisième degré que nous venons d'examiner est appelée communément la Règle de Cardan, et elle est la seule <|ue les Analystes connaissent. Mais il y a encore une autre méthode qui est due à M. Tschirnaus, et qui, quoique moins simple que celle de Cardan, a cependant l'avantage d'être plus directe et plus générale. Cette méthode est exposée dans les Acla Eruditorum de l'année i(S83, el elle consiste à faire disparaître autant de termes intermédiaires que l'on veut d'une équation quelconque; l'Auteur la propose comme gèneraie pour cet objet, et nous verrons qu'elle l'est en effet, mais qu'elle demande souvent la résolution d'équations d'un degré supérieur à celui de la proposée, ce qui empêche qu'elle ne réussisse au delà du quatrième degré.
M. Tschirnaus remarque que comme on peut faire évanouir un terme
quelconque d'une équation dont x est l'inconnue, par la supposition de
j étant une nouvelle inconnue et a une quantité indéterminée, de même on pourra en faire évanouir deux quelconques en supposant
x'1 — bx ->,- a -t- r,
ou trois en supposant
x3 = ex2 -+- bx -+- a -\-j ',
et ainsi de suite, a, b, c,... étant tous des coefficients indéterminés dont le nombre doit être égal à celui des termes qu'on veut faire évanouir, afin que l'on ait autant d'inconnues que de conditions à remplir.
Ainsi il n'y aura qu'à éliminer l'inconnue x de l'équation proposée par le moyen de la nouvelle équation qu'on a supposée, et l'on aura une équation en y qui sera toujours du même degré que la proposée, et dans laquelle on pourra supposer autant de termes égaux à zéro qu'il v a d'indéterminées a, b, c,
Prenons donc l'équation du troisième degré
x ' - r- /ttx2 -+- nx -+- p o, et supposons
x'' = bx 4- a -t- ) -,
pour qu'on soit en état d'éliminer dans la transformée les deux termes intermédiaires; on aura donc
x* bx2 -+- ax -+- yx, et, en substituant la valeur de x2,
x3-- b' a • y x | /; a -4- y ; donc, substituant ces valeurs dans la proposée, on aura \ /r mit 11 a l y > b m a ) ' ji <t.
d'où l'on tire
/< m 11 y ' /' b mb 11 a 1
valeur qui étant substituée dans l'équation
x2 = bx -+- a -f- y
donnera celle-ci, où je fais, pour plus de simplicité, b^m = c, b2 -h mb -+- n = d,
[cl a -+- y) -+- pY -f- b [e(a -h y ) -*- p] (ci -h a -+-y j — (a -+- y) < d -h a h- yf = o,
c'est-à-dire, en ordonnant les termes par rapport aux puissances de a -+-y, et remettant les valeurs de c et d,
( (y -+- a)3 — {mb -+- m2 — 2 n) ( y -f- a )s B) *
I -f- [ «62 -+- ( mn — 3p )b -h ri- — 2 mp ] y -\-a) — p ( b* -4- mb- -+- nb -f- /> = o,
de sorte qu'en développant les puissances (\v y ~\- a, on aura l'équation
y' + A. y'2 -f- By ■+■ C = o, dans laquelle
A =r 3a — /nft — m2 + 2«,
B = 3a2 — ia (mb + m2 — in) + nb- -+- ( mn — 2>p b -1- n2 — 2»;^, C = a3 — ( mb -+- m2 — 2 n ) à2 -+- [ nb2 + ! «m — 3p b -4- n- — 2 w/> ] « — p ■ b3 -v- mb2 -h nb -h p).
.Maintenant on peut faire évanouir le second et le troisième terme en supposant A = o et B = o, ce qui donnera ces deux équations
3a — mb — m2 -+- in = o,
3a2 — 2 a ( ml) -+- m'1 — in) -4- nb2 -4- ( mn — 3p) b -+- n3 — 2 mp = o,
par lesquelles on pourra déterminer a et b; et l'équation en y sera réduite à la forme
laquelle donne sur-le-champ ces trois racines
y = — y'C, y = — ay^C, y= — a2^C,
1 , a et a2 étant les racines de l'équation ^r3 — 1=0. Ainsi mettant
d'abord dans l'expression de x trouvée ei-dessus les valeurs de a et b qui résultent des équations précédentes, et ensuite pour y les trois racines de l'équation y3 -+- C — o, on aura tout d'un coup les trois racines .r de l'équation proposée.
Or. comme des deux équations qui doivent donner a et b la première est du premier degré et la seconde du second, il est visible que la détermination de ces quantités ne dépendra que d'une équation du degré i . 2. c'est-à-dire du second degré; en efiet, on aura d'abord
mb + m- — 2/1
et, substituant cette valeur dans la seconde équation, on aura
(m7 — 3n)b2 -i- (nm* — 7/71/1 + g//) b -+- m4 — 4'"2/l "+" 6 mp -h n'= o,
d'où l'on tirera deux valeurs de b qui pourront être employées indifféremment, parce qu'elles donneront toujours les mêmes valeurs de x.
Cette méthode a donc l'avantage de conduire immédiatement à une réduite du second degré, au lieu que par la méthode ordinaire on tombe dans une réduite du sixième; mais la résolution qu'elle donne n'est pas pour cela exempte de l'inconvénient que nous avons remarqué dans la résolution de Cardan, et qui consiste en ce que cette résolution est plutôt celle d'une équation du sixième degré que d'une équation du troisième (2). En effet, puisque la quantité y a trois valeurs, et que les quantités b et a en ont chacune deux, il est visible qu'il doit résulter six valeurs de x, lesquelles ne peuvent être par conséquent que les racines d'une équation du sixième degré; il est vrai que ces six valeurs se réduiront ii trois, (lniii chacune sera double, comme il est facile de le démontrer, et comme nous l'avons déjà l'ait voir à regard de la Formule de Cardan.
11. Il \ a nue remarque importante à faire touchant cette méthode de .M. Tschirnaus, c'est que, dès qu'on a trouve les valeurs de a, de // el de v. on ne doit pas prendre indifféremment pour x une des racines de l'équation supposée
22<i SUR LA RÉSOLUTION ALGÉRRIQUE
ainsi que l'Auteur le fait; car, pour que cela fût permis, il faudrait que cette équation renfermât deux des racines de la proposée, et par conséquent que b fût la somme de ces deux racines: or, comme il n'y a pas plus de raison pour que b soit la somme de deux quelconques des trois racines de la proposée que de deux autres quelconques, il s'ensuit que b devrait avoir autant de valeurs différentes qu'il y a de manières de prendre les trois racines deux a deux, c'est-à-dire trois valeurs, à cause que
le nombre des combinaisons de trois choses prises deux à deux est
-1— = 3; au lieu que nous avons vu que la quantité b n'a que deux valeurs, puisqu'elle ne dépend que d'une équation du second degré.
L'esprit de la méthode que nous examinons consiste à faire en sorte que l'équation supposée ait une racine commune avec la proposée; ainsi, quand on a déterminé les valeurs de a, b et y en sorte que cette condition ait lieu, il faut prendre pour la valeur de x celle des racines de
l'équation
xl — bx — a — y = o,
qui sera commune a l'équation proposée
x3 -+- rnx2 -+- nx -+- p = o ;
pour cela il n'y aura qu'à chercher le plus grand diviseur commun de ces deux équations, et ce diviseur, où x sera nécessairement linéaire, donnera une valeur de x qui sera aussi une des racines de la proposée; or il est facile de comprendre que cette valeur de x ne peut être que celle que nous avons trouvée en éliminant successivement les puissances plus hautes de x des deux équations données.
En effet, la méthode ordinaire d'élimination, suivant laquelle on l'ait disparaître successivement les plus hautes puissances de l'inconnue en déduisant, des deux équations données où la même inconnue se trouve élevée à des puissances quelconques, une suite d'autres équations où le plus haut degré de l'inconnue est successivement moindre, jusqu'à ce qu'on arrive à une équation où l'inconnue ne se trouve plus, et qui est le résultat de l'élimination; cette méthode, dis-je, revient dans le fond à la
même que celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur des deux quantités qui forment les premiers membres des deux équations données; les restes que l'on aura par les divisions successives qu'il faudra faire donneront, étant égalés à zéro, les mômes équations que celles qui proviennent de l'élimination; le dernier reste où l'inconnue ne se trouve plus devra être égal à zéro pour que les deux quantités proposées aient un diviseur commun du premier degré, lequel sera par conséquent l'avant-dernier reste où l'inconnue ne sera que linéaire; de sorte qu'en égalant aussi à zéro cet avant-dernier reste on aura une valeur de l'inconnue qui sera la racine commune des deux équations.
Dans l'Exemple du n° 10 les équations (A) et (B) sont celles que l'on aurait en faisant égal à zéro l'avant-dernier et le dernier reste; par conséquent la valeur de x tirée de l'équation f A) est la seule qui puisse donner en même temps une racine de l'équation proposée.
12. A l'occasion de cette remarque, nous croyons devoir encore en faire une autre touchant la manière de faire en sorte (pie deux équations aienl plus d'une racine commune; il esl évident que si l'on veut qu'elles aient deux racines communes il faudra qu'elles soient divisibles exactement par un facteur du second degré; par conséquent, en cherchant le plus grand commun diviseur des deux quantités qui forment les premiers membres des équations proposées, dès qu'on sera [nu-venu à un reste où l'inconnue se trouvera au second degré, il faudra, pour (pie ce reste soil un diviseur commun des deux équations, (pie le reste suivant soit nul de lui-même; or ce dernier reste ne renfermera que deux termes, l'un où l'inconnue ne se trouvera pas, et l'autre où (die se trouvera à la première dimension; c'est pourquoi il faudra faire chacun de ces termes en particulier égal ii zéro, ce qui donnera deux équations contenant les conditions nécessaires pour qu'il y ait dans les proposées deux racines comi s. Ce serait la même chose si l'on voulait employer la voie de l'élimination; alors il faudrait s'arrêtera l'équation où l'inconnue serait au premier degré, el vérifier cette équation indépendamment de l'inconnue, ru égalant a zéro l'un et l'autre (les deux tenues dont clic sérail compose,.
sée; moyennant quoi l'équation précédente du second degré renfermerait les deux racines communes aux deux équations proposées.
On voit par là comment il faudrait s'y prendre pour trouver les conditions qui donnent trois racines communes, ou davantage, à deux équations données; mais dès qu'on aura trouvé la condition nécessaire pour que ces deux équations aient une racine commune, on pourra aisément en déduire celles qui rendront deux ou plusieurs racines communes.
Pour cela, supposons que les deux équations données qui renferment une même inconnue x soient représentées, en général, par
P = o et Q = o;
si, au lieu de prendre P = o, je prends P =y, et que j'élimine ensuite x des deux équations, j'en aurai une en y que je représenterai par
or, pour que les deux équations P = o et Q = o aient une racine commune en sorte qu'elles puissent subsister à la fois, il faut que y ait une
valeur égale à zéro; donc
sera la condition nécessaire pour l'existence d'une racine commune à ces deux équations; mais si l'on veut qu'elles aient deux racines communes, alors il faudra que y ait deux valeurs égales a zéro; par conséquent on aura les deux conditions
/■ = o et q : 0;
de même, s'il devaity avoir trois racines communes, il faudrait que jeùt trois valeurs égales à zéro, ce qui donnerait les trois conditions
r = o, q = o et p = o, et ainsi de suite.
Je remarque maintenant que pour changer l'équation P = o en P = y,
ou P — y = o, il n'y a qu'à diminuer le dernier terme de l'équation
P = o de la quantité/; de sorte que si l'on suppose
P = x" 4- xx"~' 4- ... 4- p,
il n'y aura qu'a écrire p — y à la place de p; or l'équation
est celle qui résulte de l'élimination de ce dans les deux équations P= y et Q = o (hypothèse); par conséquent, en y faisant y=o, l'équation r=o sera celle qui résultera de l'élimination de x dans les équations P — o etQ = o; donc, ayant l'équation r=o, il n'y aura qu'à y substituer p — y à la place de p pour avoir immédiatement l'équation
y"' -+- ay'"-' -t- . . . -+- py1 + qy -+- /• = o ;
mais on sait (jue si /• est une fonction de p et qu'on veuille y substituer p — y à la place de p, on aura, en employant les différentiations, la transformée
dr i d3r „ i d* r
r~'dPr+?.dyr~7^ ^r3 + --'; donc on aura, par la comparaison des termes,
dr i d*r
d'où je tire cette conclusion, que si
est la condition nécessaire pour que les équations P = o et Q — o aient une racine commune, on aura, pour les conditions de deux racines communes,
dr
/• — o et ~r- = o; do
pour trois racines communes,
dr dr
et ainsi de suite, p étant le dernier tenue de l'une des équations proposées.
13. Il est clair au reste que les racines de l'équation en y ne sont autre chose que les valeurs de P qui résultent en substituant à la place ôe x chacune des racines de l'autre équation Q — o, que nous désignerons par x', x", ce'",...; donc, si l'on suppose que P', P", P",... soient les valeurs de P qui viendraient de ces substitutions, c'est-à-dire où l'on aurait mis ,r', x", x" ',... à la place de x, on aura
d'où l'on voit que l'équation /• — o, résultante de l'élimination de l'inconnue x des deux équations P = o et Q — o, n'est autre chose que le produit de toutes les équations particulières
P'=o, P"=ro, P'"=o,...;
or ce produit P'P"P'"... peut toujours se trouver sans connaître les racines de l'équation Q = o, comme il est facile de s'en convaincre en considérant que le produit en question demeurera toujours le même, quelque permutation qu'on y fasse entre les racines x', x", x'",..., c'est-à-dire entre les quantités P', P", P'",... qui sont des fonctions semblables de ces racines; de sorte qu'il doit être donné par une équation linéaire et sans extraction de racines. En effet, les multiplications des quantités P', P", P'",... étant faites, on trouvera toujours que les différentes fonctions dex', x", x'",... qui entreront dans le produit total seront exprimables par les seuls coefficients de l'équation Q = o, dont x', x", x'",... sont les racines. On peut consulter là-dessus V Introduction à l'Analyse des lignes courbes de M. Cramer, où l'on trouvera des règles pour calculer toutes les fonctions dont il s'agit, et avoir par conséquent la valeur du produit P'P'P . ..; nous avons aussi traité ce sujet dans un Mémoire particulier, où nous avons donné des formules générales pour trouver immédiatement la valeur du même produit, sans passer par les différentes opérations que la méthode de M. Cramer exige (*); ainsi nous ne nous arrêterons pas davantage là-dessus. Nous nous contenterons seulement de re-
(*) (JE livres de Lagrange , t. III, p. 1 4 1 -
marquer que, de ce que l'équation résultante de l'élimination de x par le moyen des équations P = o et Q = o peut être représentée par
il s'ensuit que cette équation doit être telle, que les coefficients de l'équation P = o y forment partout des produits d'autant de dimensions qu'il y a de quantités P', P", P'",... ou de racines x', x", x'",... dans l'équation Q = o, c'est-à-dire autant qu'il y a d'unités dans le degré de cette dernière équation; il en sera de même des coefficients de l'équation Q = o, qui devront former partout dans la même équation résultante de l'élimination des produits d'autant de dimensions qu'il y a d'unités dans l'exposant du degré de l'autre équation P = o.
14. D'où l'on peut conclure, en général, que, suivant la méthode de M. Tschirnaus, on aura toujours une transformée en y du même degré que l'équation proposée, et que dans cette transformée les quantités y. a, b, c,... (y compris l'unité, coefficient de la plus haute puissance de r dans l'équation supposée) formeront partout des produits du même nombre de dimensions, c'est-à-dire d'autant de dimensions qu'il y a d'unités dans le degré de la proposée.
Ainsi, supposant que l'équation proposée dont x est l'inconnue soit du degré m, et qu'on prenne une équation subsidiaire telle que
y ■+■ a -f- bx -t- ex2 -+- . . . = xr,
on aura une transformée en y du degré m qui, étant représentée par
sera telle que le coefficient A sera une fonction linéaire de a, b, <■
que le coefficient B sera nue fonction de deux dimensions des mêmes quantités, que le coefficient C en sera une de trois dimensions, et ainsi de suite.
Et en général le coefficient du terme ntime sera toujours une fonction rationnelle el entière i\c a, b, c — de n — 1 dimensions. Ainsi, prenant
autant d'indéterminées a, b, c,... qu'il y a de termes à faire disparaître, il est clair que pour faire disparaître le second terme on n'aura qu'à résoudre une équation du premier degré à une seule inconnue; pour faire disparaître le second terme et le troisième il faudra résoudre deux équations à deux inconnues, l'une du premier degré et l'autre du second, ce qui donnera toujours une équation finale du second, comme nous l'avons vu plus haut; pour faire disparaître le second terme, le troisième et le quatrième,- on aura à résoudre trois équations a autant d'inconnues, dont l'une sera du premier degré, la seconde du second degré et la troisième du troisième degré, en sorte que l'équation finale sera, en général, du degré 1.2. 3'= 6.
En général, pour faire disparaître à la fois les termes p'ème, qie'ne, rieme,..., on aura à résoudre autant d'équations qu'il y aura de ces termes, avec un même nombre d'inconnues, et ces équations seront des
degrés p — 1 , q — 1 , r — 1 , en sorte que l'équation finale montera, en
général, au degré (p — 1) (q — 1) (r — 1) Donc, pour chasser par cette
méthode tous les termes intermédiaires de la transformée
en sorte qu'elle se réduise à la forme y"1 + M = o qui est toujours résoluble, on tombera, en général, dans une équation du degré 1.2. 3.. Jm — 1), qui sera par conséquent toujours plus haut que le degré m de la proposée, excepté le seul cas où m= 3.
15. Revenons maintenant à la résolution du troisième degré trouvée d'après la méthode de M. Tschirnaus, et voyons à priori, et indépendamment de la théorie de l'élimination que nous venons d'expliquer, la raison pourquoi cette méthode conduit directement à une réduite du second degré, tandis que la méthode ordinaire mène à une réduite du sixième. Pour cela je considère l'équation subsidiaire
x'' = bx -+- a -+- y, dans laquelle y doit être déterminé par une équation du troisième degré
à deux termes telle que
dont les racines sont
et je remarque que ces trois racines devant répondre aux trois valeurs de x qui sont les racines de la proposée
x3 -+- m.r2 -I- au: -f- p = o,
on aura donc, en désignant ces dernières racines par x', x", x'", les trois équations suivantes
| x'1 =- bx' -+- a — y/C, C ' x"2=zbx"^ a — <x v'C, .
d'où l'on pourra tirer les valeurs de a et b, après avoir chassé \C; pour cet effet, il n'y a qu'à ajouter ensemble les trois équations dont il s'agit, après avoir multiplié la seconde par a et la troisième par y2; car on aura, ;i cause de a* = a et de i -+- y. + a2 = o, comme on l'a déjà vu plus haut, on aura, dis- je,
x'1 ■+ xx'" H x2x'"< = b i X' -\ xx" ■+ a'.r" ,
d'où l'on tire
x'2-h xx"' -h x'x'"-
