zj -+- 4re
Les méthodes que nous venons d'analyser renferment, si je ne me trompe, toutes les méthodes connues pour la résolution des équations du quatrième degré; il en faut seulement excepter celles deMM.Tschirnaus, Ëuler et Bezout, lesquelles méritent un examen particulier; c'est l'objet qu'il nous reste à remplir dans cette Section.
38. Et d'abord il est clair que pour pouvoir résoudre l'équation du quatrième degré, suivant la méthode de M.Tschirnaus, il n'est pas nécessaire de faire disparaître tous les termes intermédiaires, comme dans celles du troisième, mais qu'il sullit d'y faire disparaître le second et le quatrième terme où l'inconnue se trouve élevée à des puissances impaires; car alors on aura une équation résoluble à la manière de celles du second degré. Pour cela on prendra donc, comme on a fait pour le troisième degré (10), l'équation subsidiaire
x2 = bx -+- a -r- y,
qui contient deux indéterminées a et b; et éliminant par son moyen l'inconnue x de l'équation proposée
xA -+- «u1 -+- nx- — px -+- q = o,
on aura (14) une transformée en y du quatrième degré, dans laquelle le coefficient de y* sera une fonction de a et b de la première dimension, celui de v2 une fonction de a et b de la seconde dimension, celui de y
une l'onction de a et b de la troisième dimension, etc. De sorte que, pour faire disparaître à la fois le second et le quatrième terme, il faudra déterminer les quantités a et b en sorte qu'elles satisfassent à deux équations, l'une du premier degré et l'autre du troisième, ce qui donnera une réduite en a ou en b du troisième degré; d'où l'on peut conclure que la méthode de M. Tschirnaus doit aussi réussir pour le quatrième degré: c'est ce qu'on va voir maintenant par le calcul.
39. Comme nous avons jusqu'ici fait usage des lettres a, b, c, d pour représenter les quatre racines de l'équation proposée, pour éviter toute confusion nous prendrons d'autres lettres pour les coefficients de l'équation subsidiaire, et nous représenterons cette équation ainsi
r- +fx + g 4- y = o.
Or, puisqu'il faut, par la nature de la méthode dont il s'agit llj, que cette équation ait une racine commune avec la proposée, il n'y aura qu'à faire en sorte qu'elles aient un diviseur commun où x se trouve à la première dimension. On divisera donc d'abord le quinôme
x' -4- mx3 ■+■ nx1 ■+- px -f- q par le trinôme
.r2 -hfx -f- g ■ -h y,
el faisant pour un moment g ~\- y - - g' , on trouvera, comme ci-dessus .'îô , le reste
p - g ' m — if) — nf+ mf — /»] x + (j - g' i // — mf-h p -f g ,
lequel, ne contenant que la première dimension de x, devra pap conséquent être le diviseur commun des deux polynômes; ainsi il faudra que ce reste divise exactement le diviseur précédent x2 - fx i g', c'est-àdire que la valeur de X tirée de l'équation
p g' {m — if) — nf+mf f*]x + q g'{n mf+f h g" 0
satisfasse aussi a l'équation
x' -l fx -+- g' se o.
On aura donc
x q-g'n-mf+f2) + g'2
f - mp + nf— p + [m-if,g''
et substituant cette valeur dans x2 -\-fx ■+- g' = o, on aura
lq-g<{n-mf+p)+g'*Y
+ g '' iP - mf2 + "/- /» + ("» - 2/ ; ë' Y = °>
où il ne s'agira plus que de remettre g -+- y à la place de g' et de développer les termes en les ordonnant par rapport à y. Soient, pour abréger,
F =/3- mp + nf-p,
G - f2 — mf -h n , H = if — m,
et l'équation précédente deviendra
q ~ &g' + g")' +/(ï - Gg' + g'') (F - Hg') + g>'(F - Hg' ■ = o,
laquelle étant d'abord ordonnée par rapport à g' devient
g'* — (2G-+-/H — B?) g» + (G* + *q +/F 4-/GH-2FH g'2
- {iqG+fqR-hfFG- F2 ; §-' -+- q' -f- g/F = o,
et en remettant les valeurs de F, G, H,
g'* — ( mf -h in — ni' \ g'3 -+- [ /t/"2 — ( mn — 3p if-h n- — 2 /n/> -f- 1 q ] g'2 - [pp—{mp-^q)p + (np- Zmq)f-p' mq]g'
+ q P~mP- nf- pf^-q = ••
Faisons maintenant
B = nf2 — ( mn — 3p) f -h n2 — 2 mp -f- 2 </,
c = pf* — imP — 4q) f1-*- ( »/> — 3 "'7 / — /»' + ' "</ .
pour avoir l'équation
g" — Ag'3 -r Bg'2 — Ggr' -+- D = o,
et remettant maintenant g H- y à la place de g', on aura, après avoir ordonné les termes par rapport à y, cette transformée
>" -+- 4g" — A • r3 + : 6s"'J — 3sA + îi) r'1
+ 4g-3- 3Ag2 + ?Bg — C) J-l-g4 — Vg-3+ Bg2 — Cg -i- D = o,
dans laquelle on est maître de faire évanouir deux termes a volonté en déterminant convenablement les quanti tés / et g.
Faisons donc évanouir, comme nous nous le sommes proposé, le second et le quatrième terme; on aura pour cet effet les équations
4gr1 — 3 Ag2 -+- ?Bg — C = o,
dont la première donne
ce (jui étant substitué dans la seconde, on aura, en étant les fractions,
A3- .{AB-t- 8C = o,
équation qui, en remettant pour A, B, C leurs valeurs en/, montera au troisième degré, et deviendra, après avoir ordonné les ternies,
w3 - \mn -f- tip f' — S m* — i^ni2n -+- <8/t- -+- Miip — 3->.</ /' -l- [m ' - i6/n'n + lomïp -+- i(>/» n1 — zq) — iG/ip] f
m* + 6m*n — 8minp — 8m- n' — q -4 Smnip — 8pi <>.
Avant donc déterminé/ par cette équation, l'équation en y deviendra, à i A
enlise (le S = -7-5 0 I
OU bien, en niellant à la place de (1 sa valeur —•
laquelle est, comme on voit, résoluble à la manière de celles du second degré. Ainsi l'on connaîtra / et y; après quoi on aura sur-le-champ
q ( „ mf+f) (A + rj + (A + rJ ' p - mp + nf— p -+- ( m — 2/) ( j -4- j j
et les quatre valeurs de j tirées de l'équation précédente donneront toujours les quatre mêmes racines de la proposée, quelle que soit la racine/ qu'on emploie; ce qu'on pourrait démontrer, s'il en était besoin, d'une manière analogue à celle du n° 28.
40. Si l'on voulait savoir à priori pourquoi la réduite en /' que nous venons de trouver ci-dessus est nécessairement du troisième degré, il faudrait chercher quelle fonction des racines a, b, c, d doit être la valeur de/. Pour cela on reprendra l'équation subsidiaire
xï+P + g+r = o,
et l'on y substituera successivement a, b, c, d à la place de x, et à la place de j les quatre racines de l'équation en y ci-dessus; mais il n'est pas nécessaire de connaître la valeur de ces dernières racines, il suffit de considérer que, comme l'équation. ne contient aucune puissance impaire de y, ses racines doivent être deux a deux égales et de signes contraires; en sorte qu'on pourra les représenter parj', —y', y", —y"- Faisant donc ces substitutions dans l'équation œ2-\-fœ -+- g -+- y = o, on aura
ces quatre-ci
a--hfa+-g + y' = 0,
b2+fb + g-r' = o,
c- -hfc +g-hy"=o, d'-:-fd + g—y"=o;
d'où, chassant d'abord y' et y", on tire
a- + b7 -\-f{a-+- b)-hzg=o,
DES EQUATIONS.
et chassant ensuite g, on aura
Or, pour avoir toutes les valeurs de/, il n'y aura qu'à taire entre les quatre racines a, b, c, d toutes les permutations possibles, et l'on n'obtiendra que ces trois valeurs différentes
qui seront les racines de la réduite en y, laquelle ne pourra être par conséquent que du troisième degré. On pourrait même remonter de là à l'équation en j, comme nous l'avons déjà pratiqué plusieurs fois; et l'on trouverail la même équation qu'on a vue ci-dessus.
An reste, pour pouvoir mieux comparer la réduite en /dont nous parlons, avec celles que nous avons trouvées plus liant d'après les solutions de Ferrari cl de Descartes, on remarquera que
„ lr r il:
a by — (C -+- df -4- {a
or
el
a -t- b )' — (c -+- d)2 ti b -+- c -H d \ (a + b m a +- b — c d ,
a — b)1— c — dy a -t- c — h d <•/ H d !>—<■; mais on trouve par le calcul
a I) c (I il ■ r
donc on aura
« h i ih
c il
»r \nin (S j> ,
m j nui S f> I
-/ l> r il
par conséquent
- a2 + b2 — c2 — d2 m m- - - 4 mn + 8/j
Or nous avons trouvé (32j que la réduite en t a pour racines les différentes valeurs de (a -h 6 — c — rfj2; donc on aura, en général,
m m3 — 4mn + 8jb
d'où l'on voit que la réduite en/ n'est autre chose qu'une transformation de la réduite en t du numéro cité.
41 . Après avoir vu comment la méthode de Tsehirnaus peut s'appliquer aux équations du quatrième degré en faisant évanouir deux termes de la proposée, il ne sera pas inutile de voir encore ce qui en résulterait si l'on voulait faire évanouir à la fois tous les termes intermédiaires, comme on a fait pour le troisième degré.
On aurait donc trois termes à faire disparaître, savoir le second, le troisième et le quatrième, ce qui exigerait une équation subsidiaire qui contînt trois indéterminées, et qui fût de cette forme
x3 + fx2 -+- gx + //+/=o.
On éliminerait donc x par le moyen de cette équation et de la proposée
x* +• mx3 -+- nx2 -+- px -+■ q = o,
et l'on aurait une transformée en y du quatrième degré, telle que
dans laquelle il faudrait supposer A = o, B = o, C = o, pour avoir l'équation à deux termes
Or, de ce que nous avons démontré, en général, dans le n" 14, il s'ensuit que A sera une fonction d'une dimension des trois indéterminées/, g, h, que B sera une fonction de deux dimensions, et C une fonction de
trois dimensions dos mêmes quantités; de sorte que l'on aura, pour la détermination des inconnues/, g, h, ces trois équations
dont la première sera du premier degré, la seconde du second, et la troisième du troisième degré; d'où il est facile de voir qu'on aura par l'élimination une équation finale en/, ou g, ou A, qui sera du degré 1.2. 3, c'est-à-dire du sixième. Il parait donc par lit que la méthode dont il s'agit ne saurait réussir, puisqu'elle conduit à une réduite d'un degré supérieur à la proposée; mais il pourrait se l'aire que cette réduite du sixième degré pût s'abaisser à un degré inférieur; c'est ce qu'il est bon d'examiner à priori avant d'entreprendre le calcul que nous venons d'indiquer.
42. Pour cet effet il faut chercher quelle fonction des racines ci, b, c, d devra être l'indéterminée/, par exemple, pour que la transformée en y se réduise à la forme
Or cri le équation en y donne ces quatre racines (25)
ainsi, en faisant pour plus de simplicité y— D = /-, il n'y aura qu'à mettre successivement dans l'équation subsidiaire
x* +fx* -+- gx -h h h y o,
a, b, c, d ii la place de x, et k, - k, k\/ — l, — k\j—\ à la place de \ , et l'on aura ces quatre-ci
a a7/-hag -h h 4- k = o, b 6'/^ bg t- h — k — 0, c1 + c\f + Cg ■+■ /* -t- /»■ v — ' — o, d +d7f-h dg + h — k v — î = o,
d'où l'on pourra tirer le> valeurs de /, g% h et k.
28(i SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE
Si l'on ajoute ensemble les deux premières et les deux dernières, on
aura ces deux-Ci
a3 + b3 -+- a2 + b2 ) f + (a -f- b g -+- ih = o, c3 -f- d3-h{c2 -+- d*)f-h (c — r/i g- + ?.// o,
qui, étant retranchées l'une de l'autre, donnent
où il n'y a plus que deux inconnues /et g\
Qu'on retranche maintenant les deux premières l'une de l'autre, comme aussi les deux dernières, on aura ces deux-ci
c3 — d3~h (c2 — d2)f-h- (c-d)g-h ih v ■— !"--■■ o,
dont la seconde étant multipliée par \/ — r, et ensuite ajoutée à la première, on aura
équation qui, étant combinée avec celle qu'on a trouvée ci-dessus, servira à déterminer y et g.
Chassant g, on aura une équation en /qui donnera
(a3+b3-e3-(P)[a-b + (c-d)\/~i]- [a3- fr'4-(f3-//3 ) y/~i] (« + //- c — ri) (a2+b2~c2-(l2)[a-b + {c — d)y/~\]-[«2-b2 A-(c2-d2)\/~\~](a + b-c — d)
d'où l'on pourra déduire facilement toutes les différentes valeurs dont la quantité/est susceptible, en faisant toutes les permutations possibles entre les quatre racines a, b, c, d. De cette manière, si l'on fait, pour abréger,
P = {a* -+- b2 — c2 — d2) (o — b ) — (as — b3 ) {a -f- b — c — d),
Q - [a2 -+-b2 — c2 — d2){c — d) — I cs rfJ | (a -+■ b — c — d),
DES EQUATIONS.
>2 -d2) {a-hc — b — d),
M"= <a3<-d3—b3—c3){a — d) — (a—d3)(a+-d—b c), N" (as- d3 b3 — c3) [b - c) — {b3 — d3 { a + d — b - c), P" = (fl2-4-rf2 — à2 — c2) (a — c?) — (a2— tf2) a + d — b — c , Q" — («2 + rf2- 62— c2) (6 — c) — (62 — c2 a-\-d— b — c),
on trouvera les six valeurs suivantes
