M' -NV

ii l'on voit que celle

qui seront donc les racines de l'équation en /*; d'o

équation montera en effet au sixième degré, comme nous l'avons déjà

conclu par une autre voie.

43. Il s'a»ii maintenant de voir si cette équation du sixième degré peut s'abaisser à un degré inférieur; or c'est ce qui doit avoir lieu en effet, comme je vais le prouver, d'après la forme que je viens de trouver pour les six racines de l'équation en question. Car supposons que les deux racines

v ei N =

P ov-' P Qv '

soient représentées par l'équation du second degré

/ tf | U 0,

on aura donc par la nature des équations

( et il 7 v

P +Q\ i P <h - P Q* . P Uv .

c'est-à-dire

2(MP + NQ M' + N'

' — p2 + Qî Pl " -r p + Q2

Or je dis que les quantités / et u ne peuvent dépendre que d'équations du troisième degré telles que

P— Et' + Ft — G =o,

h3 — Hu!+K«- L = o,

les coefficients E, F, G, H, K, L étant des fonctions rationnelles des coefficients m, n, p, q de la proposée. De sorte que, nommant t ', t", t les trois racines de la première équation, et u , u", u" les racines correspondantes de la seconde, on aura ces trois équations en f

r+t'f+u> =o, f2-h t"f+ u" = o, p+t"'f-hu'"=o,

dans lesquelles pourra se décomposer l'équation du sixième degré en/ dont nous venons de parler.

Pour démontrer cette proposition, il n'y a qu'a chercher de combien de valeurs différentes sont susceptibles les quantités t et u, c'est-à-dire

les fonctions

MP -h NQ M2 + K'

et

des racines a, b, c, d de la proposée, en supposant que l'on fasse entre ces racines toutes les permutations possibles; car il est clair que les valeurs qui en résulteront seront les racines des équations en / et en u. Pour cela je remarque d'abord que le nombre total des permutations des quatre quantités a, b, c, d, doit être, suivant les règles connues, 4.3.2.1 — 24; de sorte que, généralement parlant, les équations en t et en u devraient monter au vingt-quatrième degré. Mais il arrive ici que parmi les permutations dont il s'agit il y en a plusieurs qui redonnent les mêmes valeurs de / et u, et qui, par conséquent, doivent être rejetées. En effet :

i° Lorsqu'on échange a en l>, il est visible que les quantités Net Q demeurent les mêmes, et que les quantités M et P changent simplement de signes, de sorte que les quantités t et u doivent demeurer les mêmes: d'où il est facile de conclure que parmi les vingt-quatre valeurs de / el de u répondant aux vingt-quatre permutations des lettres a, b, c, d, il doit y en avoir douze égales à douze autres, ce qui réduit déjà le nombre des valeurs utiles de 1 et u à la moitié.

2° Lorsqu'on échanger en d, les quantités M et P demeurent les mêmes, et les quantités N et Q changent simplement de signe, ce qui ne produit aucun changement dans les valeurs de / et u; donc, comme ces permutations sont indépendantes des précédentes, il s'ensuit, par une raison semblable, que les douze valeurs de / et u se réduiront à six.

^° Enfin, si l'on échange a en c et b en d à la fois, on verra aisément que les quantités M et N se changeront l'une dans l'autre en changeant de signe, et qu'il en sera de même des quantités P et Q; mais il est clair que ces changements ne feront point varier les quantités / et u. Ainsi, comme ces nouvelles permutations sont aussi indépendantes des précédentes, on en conclura (pie les six valeurs de / et // se réduiront à trois, en sorte (pie, parmi les vingt-quatre valeurs de / et u, il ne s'en trouvera effectivement (pie trois différentes entre elles, dont chacune sera repétée huit fois.

Il y a encore, a la vérité, un échange qui ne produit aucune variation dans les quantités / et u : c'est celui de a en d el b en c il la fois; mais il nedoil pas entrer en ligne de compte, parce qu'il est déjà renfermé dans les précédents.

De là on peut conclure que les équations en / el // du vingt-quatrième degré ne pourront renfermer que trois racines différentes, dont chacune en aura sept autres d'égales, de sorte que ces équations ne sei'oni autre chose que des équations du troisième degré élevées ;) la huitième puissance.

44. Nous venons donc de voir <i priori (pie les valeurs différentes de /

ne peuvent être qu'au nombre de trois, ainsi que celles de «; or il esl

facile de trouver que ces valeurs seront, pour la quantité /,

a(M P + NQ 2 (M'P'+N'Q') 2 (W P" + N" Q"

p2+QS ' pJ+Q'2 ' P"^4-Q'"

et pour la quantité a,

de sorte qu'on aura (43j

, a(MP-t-NQ) „ 2(M,F+N'Q'.i 2 (M"P"-h ly'Q")