PM-Q2 ' ' : F2 + Q'2 ' P"2 + Q
et
M=1-pnzrQï' a== f^ + Q'1' " zz p-'.-f.Qw*
Effectivement, si l'on met ces valeurs dans les coefficients E, F, . . . des
équations en / et en«, lesquels doivent être, comme on sait, exprimés
ainsi
E = t'-\-'t"-htm, F = t't" -h t't" -h Vf", G = t't"t'",
H = «'-h 11"-+- a'", k = u'u"-h u'iï"-h u"iï", L = u'u"u"\
on aura des fonctions de a, b, c, d, qui demeureront les mêmes, quelque permutation qu'on fasse entre les quantités a, b, c, d, et qui pourront par conséquent s'exprimer par des fonctions rationnelles des coefficients m, n, p, q de la proposée dont les quantités a, b, c, d sont les racines. De sorte qu'on pourra par ce moyen trouver directement les valeurs des coefficients dont il s'agit, comme nous l'avons déjà pratiqué plusieurs fois dans le cours de ces recherches.
Au reste, dès qu'on connaîtra les trois racines t', t", t'" de l'équation en t, on pourra par leur moyen trouver les racines correspondantes u ', u" , u de l'équation en u, sans être ohligé de résoudre aucune équation. Car si l'on prend ces trois expressions
t'2u'-!- t"*u"+ t'"*iï".
et qu'on y mette à la plaee de t\ t", t'" et //', u", a leurs valeurs ci-dessus en a, b, c, d, on verra aisément que les fonctions résultant de a, b, c, d seront telles, qu'elles ne changeront point de forme, quelque permutation qu'on y fasse entre les quantités «, b, c, d, de sorte qu'elles seront toujours exprimables par des fonctions rationnelles des coefficients m, n, p, q de l'équation proposée. Ainsi l'on pourra trouver les valeurs des expressions dont il s'agit, moyennant quoi on aura trois équations par lesquelles on déterminera aisément les trois inconnues u', u", u'". (Voyez la Section quatrième.
45. Nous étant donc assurés à priori que la réduite du sixième degré, à laquelle doit conduire la méthode en question, pourra toujours s'abaisser au troisième, voyons maintenant le procède du calcul que cette méthode exige. On reprendra donc l'équation subsidiaire 40
x3 -+- fx2 -+- gx -t- // -!- }' = o,
et l'on cherchera par la méthode ordinaire '11 ) les conditions nécessaires pour que cette équation ait une racine commune avec la proposée
x* -+- mx3 + nx2 -+■ px -4- </ o .
On divisera donc d'abord le polynôme
X* -f mx3 -h nx2 -+- px h q
par le polynôme
r3 -Ar fx2 -+- gX -t- h',
en luisant pour plus de simplicité h' = h-t-y, et. abstraction faite du quotient, on aura ce reste
M^'-i- N'ar -t P',
en supposa ni
On divisera maintenant le quatrinôme » ' fx* - gx h' par le trinôme
y\.x2 -+-N'oc -+- P', et l'on aura ce nouveau reste
5 M ' m»; M ms
qui, ne ren fermant que la première puissance de x, devra par conséquent
être le diviseur commun cherché. Faisant donc ce diviseur égal à zéro,
on en tirera
