Q = M2/«-MP/+NP

R = MÎ+(M/— N)/-P, S = M'gr— M'(P + N/) + N2, T = Mire — aN, on aura

Q + Rr + (#»-/ ) r *- s + '!>• + .,<

et l'équation de condition sera

M[Q hRj-i m-/)^]»-4-(r-N)[Q4-Rr+(m-/)rî](S + 1>- r

laquelle, étant développée et ordonnée par rapport aux puissances de y, se trouvera, après les réductions, de la forme

y* 4 P^y-i | g y 2 | Cj h- D = o,

comme nous l'avons déjà montré plus haut.

Dans cette équation en y les coefficients A, B, C, D seront des fonctions rationnelles et entières des trois indéterminées /', g, h, et les dimensions de ces indéterminées ne passeront pas le premier degré dans le coefficient A, le second degré dans le coefficient B, et ainsi de suite, conformément à ce qu'on a déjà prouvé àpriori. Ainsi, pour réduire l'équation précédente à deux termes, on fera

équations d'où l'on tirera d'abord les valeurs de g et h en/, et ensuite nue équation finale en./ qui sera du sixième degré, mais qui sera réductible au troisième, comme on l'a démontré ci-dessus; car, en divisant celle équation par une équation du second degré telle que

f* -h tf+ u = o,

on trouvera, pour que la division puisse se faire exactement, deux équations de condition entre / et u, à l'aide desquelles on pourra d'abord déterminer u en /, et ensuite on aura une équation finale en / qui ne sera que du troisième degré. Résolvant donc cette équation du troisième degré, on connaîtra / et de là u; après quoi on aura /par la résolution de

l'équation ci-dessus du second degré, et de là g et // par des équations linéaires. Ainsi l'on connaîtra la valeur de tons les coefficients I). Q, H, S, T. Or l'équation en v, étant réduite à celle-ci

par l'évanouissement des termes intermédiaires, donnera les quatre valeurs de y

±v' D et V l'\ '■

lesq telles, étant substituées successivement dans l'expression Ac .r ci-

dessus, donneront les quatre racines de la proposée. Au reste, comme ce calcul conduit à des formules assez compliquées, nous nous contentons de l'indiquer, et nous allons plutôt chercher des moyens de le simplifier.