L -+- Mj -t-Nj
.. + R,rx'
X étant égal à — si jjl est pair, et égal a - —
- si \x est
impair.
De cette manière on aura donc x exprimé par une fonction rationnelle de y, de sorte que si l'on connaît toutes les \x valeurs de y, on aura par leur substitution successive les fi. valeurs correspondantes de x qui seront les racines de la proposée.
52. Cette méthode est, comme on voit, très-simple et très-générale:
mais la dilficulté est de pouvoir déterminer les indéterminées/, g, h
en sorte que la transformée en y soit résoluble.
La supposition la plus naturelle et en même temps la plus générale qu'on puisse faire pour cet objet, c'est d'égaler a zéro les coefficients A, B,... de tous les termes intermédiaires; en sorte que l'équation en y se
réduise à cette forme
yv- -4- V = o,
dont on peut toujours avoir immédiatement une ou deux racines suivant que fi, est impair, ou pair, et dont les autres racines ne dépendent plus
que d'une équation du degré — — ou - 21 1, outre qu'on peut aussi
les déterminer toutes directement par la division de la circonférence du cercle (23).
Il faudra donc prendre dans ce cas p = u. — i pour avoir autant d'indéterminées <pie d'équations à remplir, et l'on tombera, en général, dans une équation finale du degré [.a. 3... u. i . connue on l'a prouvé dans le n° 14.
Si l'exposant fi est un nombre compose, en sorte que l'on ail fi = vtt, il est clair qu'on pourra, en faisant y*- -Z et taisant disparaître tous les termes de l'équation en y dont l'exposant ne sera pas divisible par -.
réduire cette équation en une équation en z du degré inférieur v. On aura
rs
.2ET.3tD. . .(V -
(ft-i)
donc, dans ce cas, v (w — i) termes à faire disparaître; par conséquent il faudra prendre p = v(sr— ij pour avoir autant d'indéterminées, et de ce qu'on a démontré dans le n° 14 il est facile de conclure que l'équation finale qu'on aura dans ce cassera, en général, du degré marqué par le nombre
I.2.3...(CT — i) (BT-+-I) (BT + 2)...(25î — l)(2BÏ-t-l (2GJ -+- 2)...( 3cJ — I ... VCT — I ),
c'est-à-dire du degré
ou bien de celui-ci
Tels seront donc les degrés auxquels pourront monter les réduites qu'il faudra résoudre lorsqu'on voudra faire usage de la méthode de M. Tschirnaus; mais il peut se faire que ces réduites soient telles qu'elles puissent s'abaisser à des degrés moindres : c'est ce qu'il serait comme impossible de reconnaître à posteriori, c'est-à-dire par la forme même de ces réduites, mais on pourra s'en assurer à priori par la considération de leurs racines, regardées comme des fonctions de celles de l'équation proposée, et de l'équation transformée en y, ainsi qu'on va le voir.
53. Désignons, en général, par x', x", x'", x"', ... les p. racines de l'équation proposée
x* ■+■ m a?11-1 -t- nx' 2 -4- . . . = o,
et par y ', y" , y" , ••• les p. racines de la transformée
)•'* + kyv—* -h By-k 2 -r • . . -i- V — o ;
substituant successivement ces racines dans l'équation subsidiaire
x? -\-fx*-y -+- gx*~ 2 -+- h X?-' + ...-»-/ -hjr = o,
on aura jl». équations particulières par lesquelles on pourra déterminer les coefficients indéterminés/, g, h,...; et comme chacune des racines y', y", y'",... peut répondre également à chacune des racines x', x". x' , —
il s'ensuit que les inconnues/, g, /?,... seront susceptibles de différentes valeurs, qu'on trouvera toutes en faisant toutes les combinaisons possibles des racines x' ', x", x'", . . . avec les racines y', y", y'", .... C'est par le nombre et la forme de ces différentes valeurs d'une même inconnue qu'on pourra juger du degré et de la nature de l'équation par laquelle elle doit être déterminée.
54. Supposons d'abord que tous les termes intermédiaires de la transformée en y doivent disparaître, en sorte qu'elle se réduise à la forme
pour cela il faudra faire dans l'équation subsidiaire p = u.— i pour avoir ix — i indéterminées (52), et comme l'équation y^-h V = o donne ["en supposant pour plus de simplicité
et désignant par i , a, a2,..., a1^"' les racines de l'équation y*— i =o(24)J, les racines u, au, a2«,..., a^~lu, on aura, en prenant ces racines pour ) ', y", y'",--, et les substituant, ainsi que les racines x', x", x'",..., dans l'équation subsidiaire, on aura, dis-je, ces y. équations
>" ' -+./ x'^~1-+-gx' ^~ *-+-...-»- /-f u = o, x"* ' •hfx"^3-hgx"*-*-h. . .4- l r au = o, X»>P-i +fx'"-' ' 4 gx'">-3 4- ... 4- / 4- oihi— o,
par lesquelles on pourra déterminer tant la quantité u que les u.— i quantités/, g /.
Comme ces inconnues ne sont qu'au premier degré dans les équations
précédentes, il est clair que le système de toutes ces équations ne donnera qu'une seule valeur déterminée pour chacune de ces inconnues. Or, supposons que l'on ail trouve, par la méthode ordinaire d'élimination, la valeur de l'inconnue/ on fera les mêmes raisonnements pour chacune
des autres indéterminées g, A, — l), il est visible que cette valeur sera exprimée par une fonction des ji racines a;', x ", .r .... et de la racine v. Donc, si l'on y l'ail toutes les permutations possibles entre les u racines i .
x", a-'",..., on aura toutes les valeurs particulières de/qui devront être les ratines de l'équation en/.
Comme le nombre des permutations qui peuvent avoir lieu entre p. choses est exprimé en général par 1.2. 3 . . .a, il s'ensuit qu'on aura, généralement parlant, 1.2. 3... \x valeurs particulières de/; mais, si parmi ces valeurs il s'en trouve d'égales entre elles, il est clair qu'on pourra les réduire à un plus petit nombre en faisant abstraction des valeurs égales, et nous allons l'aire voir qu'il n'y aura en effet que 1 . 2 .3. . . {[x — 1) valeurs différentes de/.
55. Pour cela il n'est pas nécessaire de chercher l'expression de/ par le moyen des équations (ej; il suffit d'examiner les variations dont le système de ces équations est susceptible par les permutations des racines x ', x", x'",... entre elles. Pour connaître ces variations, on commencera par supposer que la racine x' demeure à sa place, c'est-à-dire que la première équation reste la même, et l'on échangera successivement entre elles, dans les autres équations, les p. — 1 racines a?", x'", xlv,..., ce qui donnera 1.2. 3. ..(p. — 1) variations; ensuite on fera prendre à x la place de x" et vice versa, ou, ce qui revient au même, on mettra dans la première équation au à la. place de u, et dans la seconde u à la place de au, et l'on fera ensuite les mêmes échanges entre les \x — 1 racines x", x'", xlv,..., ce qui donnera 1 .2.3... (p. — 1) nouvelles variations; on mettra encore x' à la place de x'", et vice versa, ou bien on substituera a.-u à la place de u dans la première équation, et u à la place de a2u dans la troisième, et l'on fera ensuite les mêmes échanges entre les racines x", x'",..., ce qui donnera aussi 1.2. 3. ..(p. — 1) variations, et ainsi de suite. Par ce moyen on aura p. fois 1.2. 3... (p. — 1) variations, ce qui fait le nombre total 1.2. 3. ..fj. de toutes les variations possibles du système des équations (e).
Maintenant je remarque que dès qu'on aura trouvé les 1.2. 3. ..'p. — 1) variations qui ont lieu tant que a;' demeure à sa place, on pourra en déduire sur-le-champ toutes les autres en ne faisant que substituer successivement dans toutes les équations (e), à la place de //, les quantités
c/.u, a2u, a3u,..., a1"-' u; c'est de quoi il est facile de se convaincre avec un peu d'attention en observant que
of=i, a|i+' = a, a»+2 — ex2,
Or il est visible que ces substitutions de au, a2u,... a la place de u ne peuvent produire aucun changement dans la valeur de /; car, dès qu'on élimine u, il est indifférent quelle valeur on donne a cette quantité, et les résultats de l'élimination sont nécessairement indépendants de la valeur de u.
Donc il n'y aura proprement que les 1.2. 3.. . (jx — 1) variations, qui résultent des permutations entre les p.— 1 racines a?", a?'",..., qui pourront donner des valeurs différentes pour/; de sorte que l'équation en /ne devra être que du degré 1.2. 3... (jx — r), ce qui s'accorde avec ce que l'on a dit plus haut (52).
Mais voyons encore si cette équation ne sera pas susceptible de quelque réduction. Pour cela il faut distinguer le cas où l'exposant jx de la proposée est un nombre premier, et celui où cet exposant est un nombre composé.
56. Supposons que jx soit un nombre quelconque premier, et faisant abstraction, dans le système des équations (e), de la première équation, à cause qu'on peut regarder la quantité x' comme fixe, voyons quelles sont les variations dont ce système est susceptible en vertu des permutations entre les autres racines x", x" ,
Pour cela on suivra une méthode semblable à celle du numéro précédent. On regardera d'abord la quantité x" comme fixe et on cherchera les variations résultantes des I.2.3...(|X — 2) permutations entre les [j. — 1 autres racines .r'", a;lv, ... ; on mettra ensuite x" à la place de .r el réciproquement, ce qui revient au même que de mettre «aa à la place
de au dans la seconde équation, et au a la place de a2 u dans la troisième.
et l'on cherchera de nouveau les 1 .2. 3. ..(p.— 2) variations provenantes des
permutations des antres racines od . ■>",... ; on mettra x" a la place de .rlv
et vice, versa. OU, Ce qui revient au même, on substituera a'u à la place
