III. [o

de au dans la seconde équation, et au a la place de a?u dans la quatrième, et l'on cherchera comme auparavant les i.2.3...(/jl — 2) variations provenantes des permutations entre les p. — 2 racines x'", xlv et

ainsi de suite. Ce procédé donnera p — 1 fois 1 .2. 3. ..(p.— 2) variations, ce qui fera le nombre total des 1.2. 3... (p. — 1) variations cherchées.

Or je dis que dès qu'on aura trouvé les 1.2. 3. ..(a. — 2) variations, qui ont lieu tant que «"demeure à sa place, et qu'on change celles des autres racines x'\ xlw,..., on pourra en déduire immédiatement toutes les variations résultantes des permutations entre les p. — 1 racines ce", oc'", x1",... en substituant successivement a2, a3,..., a1*-1 à la place de a dans toutes les équations (e); car par ce moyen le terme au de la seconde équation se changera successivement en a2u, a*u,..., et les termes a2u, a'u,... des autres équations ne feront que s'échanger entre eux (à cause que p est un nombre premier, comme on peut s'en convaincre par ce qui a été démontré dans le n° 24), échanges qui équivalent évidemment à ceux des racines x'", xIV,... entre elles.

D'où je conclus que quand on aura trouvé par le moyen des équations (e) l'expression de/ en x', x", x'",... et a, et qu'on voudra connaître les 1 .2.3... (p — 1) valeurs de/qui résultent des permutations des racines x", x"', xlv, . . . entre elles, et qui doivent être les racines de l'équation en/du degré i.2.3... (p — 1) (numéro précédent), il suffira de chercher les 1.2. 3... (p. — 2) valeurs de f provenantes des seules permutations entre les racines a?'", «IV,... et d'y échanger ensuite successivement a en a2, a*, a',..., a1*-'; ou bien, ce qui revient au même, on échangera d'abord dans l'expression de/la racine a en a2, a3, . . . , a*1*-1, et ensuite on fera dans chacune de ces p — 1 valeurs de f les 1 . 2 . 3 ... (p. — 2 ) permutations qui ont lieu entre les p. — 2 racines x", x'", ... ; on aura par là les 1 . 2 . 3. . . ( p, — 1 ) racines de l'équation en /.

57. Imaginons maintenant que les p. — 1 valeurs de/qui viennent de la substitution successive de a2, a3,..., a1*-' à la place de a soient les racines de l'équation du (p. — 1 )""'"* degré

et comme i, y, a2, a3,... sont les racines de l'équation yv • — i = o (hypothèse), il est clair que y, y2, a3, . . . seront les u. — i racines de l'équation

J— — = o, savoir

A' }"''-' + 7'*-îH- J^8 -+- . . . •+- i - o.

Donc, si dans l'expression de /tirée des équations (e) on met, en général, y à la place de a, et qu'ensuite on élimine y par le moyen de l'équation (g), on aura nécessairement l'équation (/); d'où l'on voit que cette équation ne contiendra plus «, de sorte que les coefficients F, G,... ne seront que des fonctions de x', x", x"

Or, ayant trouvé l'équation (/), il n'y aura plus qu'à faire dans les expressions des coefficients F, G,... toutes les permutations possibles entre les (x— 2 racines oc'", x™,..., et l'on aura par là 1.2. 3... (a— 2) équations en /dont chacune sera du (jx — iyème degré, et qui renfermeronl par conséquent les i.2.3...(jx — 1) racines de l'équation générale en/.

De là il est facile de conclure que chacun des coefficients F, G,... ne pourra dépendre que d'une équation du degré [.2.3... (jx — 2). En effet, comme ces coefficients sont des fonctions des racines x', x", .r "',..., il est clair que chacun d'eux, par exemple F, devra être déterminé par une équation qui ait autant de racines que ce coefficient aura de différentes valeurs en faisant toutes les permutations possibles entre les racines o?', x", x'",...; mais on a démontré plus haut (55) que les permutations de la racine a?' en chacune des autres ne changent point les valeurs de/; par conséquent elles ne changeront pas non plus celles de F, G.... qui sont des fonctions des racines de (/); de pinson a vu (56 qu'on peut suppléer aux permutations de la racine x" en échangeant la racine y. en y.'2, x*,..., de sorte que comme les valeurs de F, G,... sont indépendantes de y, elles ne recevront aucun changement parles permutations

de or". Ainsi il n'y aura que les permutations des u. — a racines x '". rn

entre elles, qui donneront «les videurs différentes de F, ainsi que de <i . H .... -. d'où il s'ensuit que le nombre de ces valeurs différentes sera simplement [.2.3. ..(jx — 2); par conséquent chacun des coefficients

F, G, H,... sera donné par une équation d'un degré marqué par ce même nombre.

58. Doue la réduite en/, qu'on trouvera par la méthode de M. Tschirnaus, et que nous avons vu devoir être, en général, du degré 1.2. 3... fa— 1), sera toujours décomposable, lorsque pi est un nombre premier, en [ . 2 . 3. . . (pi — 2) équations du degré a — 1 , telles que l'équation (f) cidessus, et cela par le moyen d'une équation du degré 1/2. 3. ..(pi— 2); car, quoique les coefficients F, G, . . . dépendent chacun d'une équation de ce dernier degré, cependant il suffira d'avoir l'équation en F, ou en G, etc., parce que les autres coefficients pourront toujours s'exprimer par des fonctions rationnelles de celui-là.

En effet, si l'on regarde l'équation {f) du degré jul — 1 comme un diviseur de la réduite en / du degré 1 . 2 . 3. . . f p. — 1), on trouvera pour cela \j. — 1 conditions par lesquelles on pourra déterminer, en général, les a— 2 coefficients G, H, . . . en F, sans aucune extraction de racines, et ces valeurs étant ensuite substituées dans l'une des équations de condition, on aura l'équation même en F, laquelle ne devra pas passer le degré 1 .2.3. ..(pi — 2). Je dis qu'on peut déterminer, en général, les valeurs de G, H,... en F sans extraction de racines; cela est vrai tant qu'on ne donne à F aucune valeur particulière; mais lorsqu'on voudra substituer à la place de F les racines de l'équation en F pour avoir les valeurs correspondantes de G, H,..., s'il arrive que la racine substituée soit double, ou triple, ou, etc., les expressions rationnelles de G, H,... se trouveront en défaut, et ces quantités dépendront alors de la résolution d'une équation du second, ou du troisième, ou, etc., degré, comme nous le démontrerons plus bas (102).

On pourrait au reste trouver directement l'équation en F par le moyen de ses racines regardées comme des fonctions de x', x ■", x" ', ... ; on a vu différents exemples de cette méthode dans les Sections précédentes. Et, supposant cette équation en F connue, on pourra, par son moyen, déterminer directement les valeurs de G, H,... par la méthode qu'on trouvera dans la Section quatrième (100).

Maintenant il est visible que l'équation en F sera toujours d'un degré plus haut que la proposée, excepté le seul cas de \). = 3; car, taisant ij. = 3, on a

faisant a = 5, on a

I . 2 . . . ( y. — 2 ) == i . 2 . 3 = 6, taisant (J- = 'J, on a

et ainsi de suite; donc, à moins que cette équation ne puisse encore s'abaisser à un degré moindre que p., la solution de M. Tschirnaus ne sera d'aucun usage; or c'est ce qui me parait presque impossible, en général. Il est vrai que, quoique le degré i.a...(|x — 2) de l'équation dont nous parlons soit plus élevé que le degré \i. de la proposée, cette équation ne renfermera pas cependant des difficultés supérieures à celles des équations du degré (x; car, puisque ses 1.2. 3... (fi.— 2) racines sont des fonctions connues des u. racines x', x", x'",..., il est clair qu'elles ne seront pas indépendantes les unes des autres, mais qu'il y aura en Ire elles des relations exprimées par un nombre d'équations égal à la différence des exposants i.a.3...(/x — 2) et(u; de sorte que, supposant que l'on connaisse un nombre y. de ces racines, on connaîtra aussi par leur moyen toutes les autres.

D'où il s'ensuit que l'équation en F ne pourra renfermer dans le fond que les difficultés du degré fx; mais, par la même raison, il parait aussi qu'elle devra toujours renfermer toutes les difficultés (le ce degré, de sorte qu'on se trouvera ramené aux mêmes difficultés auxquelles la résolution générale de 1'équalion proposée est sujette.

59. Supposons présentement que l'exposant \j. de la proposée soit un nombre compose : dans ce cas il faudra apporter quelque modification an raisonnement du n" 56, car, si dans les termes de la progression géométrique k, y2, x*,..., oP~l on substituait indifféremment à la place de « les puissances x%, «*,..., a^', on ne retrouverail pas toujours les mêmes termes comme lorsque /x est un nombre premier; nous «m avons donné

la raison dans le n° 24, et nous y avons démontré aussi qu'il n'y a que les puissances de a dont l'exposant est un nombre premier à (j. qui, étant substituées à la place de a dans les termes a, a2, a8,..., a**-1, puissent redonner les mêmes termes, de sorte qu'il faudra restreindre à ces seules puissances de a les résultats du n° 56.

Donc, si l'on désigne, en général, par v, zô, p,... tous les nombres moindres que p. et premiers à p., dont nous supposerons que le nombre soit X — i, on pourra, par les substitutions de a\ Kn, a?,... à la place de a dans l'expression de/, suppléer aux permutations de la racine x" dans les racines a?(v+,), #(CT+,), xl?+i),...-, par conséquent, si l'on suppose que les X valeurs de/qui viennent de la substitution a\ a", c.p,... à la place de a soient les racines de l'équation

cette équation sera un diviseur de la réduite en/, et les coefficients F,

G,... seront donnés chacun par une équation du degré ' ;

de sorte que dans ce cas la réduite en /, trouvée par la méthode de M. Tschirnaus, et qui est du degré i .2. 3. . .(p. — i), sera résoluble en

' ' ' ^ ■ équations, chacune du degré X, et cela moyennant une

équation du degré

Pour trouver l'équation (h) à priori, il n'y aura qu'à mettre y a la place de a dans l'expression de/, et ensuite éliminer y par le moyen de l'équation dont les racines seraient a, a', a™, ap, . . . : or voici comment on pourra avoir cette équation.