DU SECOND DEGRÉ

Bulletin de la Société philomathique ; 1867.

1. On sait, depuis les travaux de M. Poncelet, que tous les cercles tracés dans un même plan passent par deux points fixes imaginaires situés sur la droile de Tinfini. Je désignerai par I et J ces deux points remarquables, que, dans une Note publiée dans les Comptes rendus (janvier i865), j'ai proposé de nommer ombilics du plan , J'appelle droite isotrope loute droile du même plan qui passe par l'un des points I et J; Tensemble de ces droites forme deux systèmes bien distincts, l'un composé de droites parallèles entre elles et passant par le point I, l'autre de droites également parallèles et passant par le point J.

Par tout point d'un plan passent deux droites isotropes de systèmes différents, dont l'ensemble forme un cercle de rayon nul. Dans un plan réel, toute droile isotrope renferme un point réel, et n'en renferme évidemment qu'un; c'est le point oii elle coupe la droite isotrope qui lui est imaginairement conjuguée.

De la considération des droites isotropes découlent, pour les courbes algébriques, deux nolions fondamentales : la première est celle des foyers que, d'après PlCicker, je définirai comme les points de concours des diverses droites isotropes que l'on peut mener tangentiellement à la courbe; relativement à ces foyers, il y a lieu de faire une distinction importante entre les foyers ordinaires et les foyers singuliers (voir Comptes rendus, i865); la deuxième est celle des droites conjointes relativement à un point.

aS OKOMÉTRIE.

Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe, on mène les deux droites isotropes qui se coupent en ce point, les 2/1 points d'intersection de la courbe et des droites seront situés, deux à deux, sur 72 droites réelles ; je nommerai ces droites les conjointes du point M relatives à la courbe, en me servant d'une expression déjà employée, à peu près dans le même sens, par M. Chasies dans la théorie des coniques. Si Ton prend la polaire réciproque de la courbe par rapport à un cercle décrit du point M comme centre, les n foyers de la transformée seront les pôles des conjointes du point M.

2. Toutes les sphères décrites dans l'espace ont en commun une conique imaginaire située sur le plan de l'infini (I^oncelel), et que l'on peut appeler ombilicale. Les ombilics d'un plan quelconque sont les points où ce plan coupe l'ombilicale. — Toutes les droites isotropes passant par un point de l'espace formeront un cône s'appujant sur l'ombilicale, et que je nommerai cône isotrope. Par une droite, on peut mener deux plans tangents à l'ombilicale; je désignerai de tels plans sous le nom de plans isotropes; pour un plan isotrope, les deux ombilics, qui sont généralement distincts, se confondent entre eux.

La surface développable circonscrite à une surface quelconque et à l'ombilicale sera dite développable isotrope de cette surface; les lignes doubles seront les focales de la surface; il y a lieu d'ailleurs de distinguer les focales singulières et les focales ordinaires.

3. Toutes les génératrices rectiligncs d'une sphère sont des droites isotropes; le plan tangent, en un point P de cette sphère, la coupe suivant les deux droites isotropes de ce plan tangent qui passent au point P. Sur une sphère donnée, imaginons deux génératrices / et j de systèmes différents et se coupant en un point réel P de cette sphère; les autres génératrices isotropes de la surface se partageront en deux groupes : l'un, 1, formé des génératrices de même système que / et rencontrant toutes la droite y; l'autre, J, formé des génératrices de même système que/ et rencontrant toutes la droite i.

Si l'on fait une projection stéréographique sur un plan parallèle au plan langent en P, les génératrices de la sphère du système 1