RAYON DE COUKBURE DES LIGNES PLANES

Bulletin de la Société philomalhique; 18O7.

Si, en un point M d'une courbe, on imagine construite la parabole suroscuIaU'Ice de la courbe, la position du (oyev F de celle parabole donnera d'une façon 1res nette, non seulement la valeur du rayon de courbure au point considéré, mais encore la variation que cette valeur éprouve en passant à un point infiniment voisin, eu un mot la déviation de la courbure.

Cette déviation est mesurée, comme on le sait, par la tangente lie l'angle que fait la normale au point M avec la droite joignant ce point au fover F; quant au rayon de courbure, sa valeur est double de la longueur de la projection sur la normale du segment de droite MF.

Le but de cette Note est d'exposer brièvement quelques propriétés générales des courbes algébriques, qui permettent dans beaucoup de cas de déterminer géométriquement en un point d'une courbe la position du fojer de la parabole surosculatrice. La méthode (|ui en découle me paraît, par son principe, différer entièrement de celles qui ont été employées jusqu'ici ; et l'on peut l'appliquer du reste, complètement, à toutes les courbes de troisième et de quatrième classe.

Le théorème fondamental sur lequel je m'appuierai dans la recherche actuelle est l'un de ceux que j'ai donnés très succinctement dans les Comptes rendus (janvier i865).

Avant de l'énoncer, j'expliquerai quelques expressions nouvelles dont je vais me servir, et qui, dans beaucoup de recherches géométriques, sont utiles parleur précision et leur brièveté.

Imaginons dans un plan deux systèmes de n droites A et B, et prenons arbitrairement un axe fixe H dans ce plan; si la somme des angles que font avec Taxe fixe des droites du système A est égale à un multiple de iz près à la somme des angles que font avec ce même axe les droites du système B, je dirai que les deux systèmes A et B ont même orientation, lis jouiront alors de la propriété énoncée ci-dessus relativement à tout autre axe situé dans le plan.

Soient P un point situé dans un plan et A| , A^. . . . , A/i /i autres points de ce plan; menons les droites PA|, PAq, . . . , PA„ et sur chacune de ces droites portons une longeur égale à l'inverse du segment correspondant. — Considérons ces longueurs comme représentant des forces; composons-les, et sur la direction de leur résultante portons, à partir du point P, une longueur égale à rinverse de la /i»«"« partie de cette résultante. L'extrémité a du segment ainsi déterminé 5era dite le centre harmonique des points A|, Aa, . . . , A„ relativement au point P, el la longueur Va sera la moyenne harmonique entre les longueurs PA|, PAn, . ., PA«.

En adoptant pour un moment les notations de M. de Saint- Venant, qui représente simplement la composition des longueurs par le signe de Taddition, on voit que le mode de défînition donné plus haut du centre harmonique revient à Téquation suivante :

Pa PA, PA, PA„

La désignation nouvelle que je propose ici renferme, on le voit, comme cas particulier, celle qui a été employée par Maclaurin el qui est consacrée par l'usage; elle ne peut donc donner lieu à aucune espèce de confusion et en somme n'introduit aucun terme nouveau dans le langage géométrique.

Je ferai à ce sujet les remarques suivantes, dont l'application se présente fréquemment :

1** Si le point P est à l'infini, le centre harmonique d'un système de points A|, A2, . . ., A;, se confond avec leur centre de gravité.

2° Si l'on considère seulement 2 points A| et Aj, leur centre harmonique a se trouvera sur la circonférence passant par les points A|, A2 et P et les quatre points P, a, Aj, A2 diviseront harmoniquement la circonférence.

SUR LA DÉTERMINATION DU RAYON DE COURBURE DES LIGNES PLANES. aS

J'énoncerai de la façon suivante le théorème qui me sert de point de départ :

Théorème I. — Si par un point P situé dans le plan d'une courbe plane réelle de classe n, on mène les n tangentes à la courbe, et si Von joint ce point aux n foyers réels de la courbe, les deux faisceaux de droites ainsi obtenus ont même orientation, (Théorème VII des Comptes rendus.)

On déduit immédiatement de là le théorème suivant :

Théorème II. — Si, par un point P, pris dans le plan d'une courbe plane réelle de classe n, on mène les n tangentes à la courbe, le centre harmonique des n points de contact relativement au point P est le même que le centre harmonique des n foyers réels.

En particulier, si Ton suppose le point P à l'infini, on obtient un système de tangentes parallèles; le centre de gravité des points de contact est le même que celui des foyers; il est donc fixe : théorème bien connu que l'on doit à M. Chasles.

£n appliquant le théorème II à un point infiniment voisin de la courbe, on en déduit la proposition suivante relative à la détermination du foyer de la parabole surosculatrice :

Théorème III. — Par un point M d'une courbe plane de classe /i, menons à la courbe les {n-i) tangentes différentes de celle qui a son point de contact en ce point; sur la direction de chaque tangente j et du côté opposé à celui où se trouve le point de contact, portons une longueur égale à V inverse du segment compris entre le point M et ce point de contact; joignons le point M aux n foyers, et sur chacune de ces droites portons, du côté où se trouve le joyer correspondant, une longueur égale à C inverse de la distance du point M à ce foyer.

Si nous composons toutes ces longueurs entre elles en les considérant comme des forces, et si, sur la direction de la résultante, nous portons à partir du point M une longueur égale à Finverse de cette résultante, l'extrémité de la droite ainsi obtenue sera le foyer de la parabole surosculatrice au point M.

a6 atoMÉTRiE.

Remarque. — Si un des fovers de la courbe se trouve à Tinfini, il est clair que, dans le théorème précédent, il n^jra pas à en tenir compte.

Si tous les foyers étaient à rinPini, la position seule des tangentes interviendrait dans l'application du théorème. Ce cas se présente parfois; ainsi, lorsque les extrémités d'un segment de droite de longueur donnée sont assujetties à se mouvoir, chacune sur une courbe algébrique donnée, l'enveloppe de cette droite est une courbe de l'espèce indiquée; et ce caractère seul, d'avoir tous ses fojersà l'infini, suffit pour établir relativement à cette courbe un grand nombre de propriétés dignes de remarque.

Une courbe de ce genre est l'épicycloïde à trois points dé rebroussement; c'est une courbe de troisième classe ayant tous ses foyers à l'infini.

Le théorème précédent appliqué à cette courbe fournit la propriété suivante :

Par un point M d'une telle épicycloïde, menons la tangente à la courbe qui n'a pas son point de contact au point M lui-même et soit t le point de contact de cette tangente; si nous prolongeons ^M d'une longueur égale à elle-même, l'extrémité de la longueur ainsi obtenue sera le foyer de la parabole surosculatrice de l'épicycloïde au point M.