COURBES RESULTANT DE L INTERSECTION DINE SPIIKUE AVEC UNE .SURFACE. H
se projelleronl suivant un système de droites isotropes parallèles à/, et celles du système J, suivant un système de droites isotropes parallèles à ^. — Cette propriété est fondamentale dans la théorie de la projection stéréographique.
4. Soit tracée sur une sphère une courbe algébrique que, pour plus de simplicité, je supposerai réelle. — Imaginons les tangentes à la courbe qui sont des droites isotropes du système 1, et soit n le nombre de ces tangentes; il y aura également n droites isotropes du système J, qui seront tangentes à la courbe, et l'ensemble de ces 2/1 droites formera un réseau dont les n^ points de rencontre seront les foyers de la courbe; on peut prendre de différentes façons n de ces points, de sorte que deux quelconques d'entre eux ne se trouvent pas sur une même droite isotrope; ces n points formeront alors un système indépendant. — Parmi les /«' foyers, il y a toujours n foyers réels, et il ny en a que a?; ils forment un svstème indépendant, et par conséquent permettent de déterminer tous les autres. — Si l'on joint par une droite deux foyers réels quelconques, la polaire de celte droite coupera la sphère en deux points imaginaires, qui seront des foyers de la courbe; réciproquement la polaire de la droite réelle, qui passe par deux foyers imaginaires conjugués, coupe la sphère en deux foyers réels.
A proprement parler, les courbes sphériques n'ont pas de foyers singuliers, c'est-à-dire de tangentes isotropes dont le point de contact soit sur l'ombilicale. Nous donnerons cependant ce nom aux points dont voici la déHnition : prenons deux points imaginairement conjugués de l'intersection de la courbe avec l'ombilicale, les génératrices isotropes passeront par ces points, se couperont en deux points réels diamétralement opposés. Nous nommerons ces points foyers singuliers. Us jouissent de la propriété suivante, que, si l'on considère un cône ayant pour sommet le centre de la sphère et pour base la courbe, ce cône admet pour focales singulières les droites joignant les couples des foyers singuliers. — Un cercle sur la sphère n'a pas de foyers ordinaires; il n'a que deux foyers singuliers, qui sont ses pôles sphériques (*) :
(') Pour éviter loute confusion dans la suite, je désignerai constaminenl les pôles sphériques d'un cercle sous le nom de foyers; le centre d'un cercle sera le
00 OKOMKTHIE.
En général, l'inlerseclion d'une sphère avec une surface de degré m a 2 m foj^ers singuliers et a m {m — -) foyers ordinaires.
Lorsqu'on projelle stéréographiquemenl une courbe, les génératrices isotropes de la sphère se projettent suivant des droites isotropes; il en résulte que les foyers ordinaires de la courbe se projettent suivant les foyers ordinaires de la transformée. Il n'en est pas de même des foyers singuliers; pour les obtenir, on considérera l'une (juelconque des surfaces qui, avec la sphère, définissent la courbe, et l'on prendra son intersection avec le plan langent au pôle de transformation. — Les polaires des conjointes de ce pôle, relativement à l'intersection dont je viens de parler, couperont le plan de projection aux fo^'ers singuliers de la transformée.
5. Je considérerai spécialement dans cette Note les courbes qui résultent de l'intersection d'une sphère par une surface du second degré. Elles ont été déjà l'objet des travaux d'un grand nombre de géomètres, notamment de MM. Quetelet, Dandelin, (^hasles. M. Darboux a aussi publié divers Notes très intéressantes à ce sujet {Nouvelles Annales de Math, et Annales de V École normale, i865).
Ces courbes correspondent exactement sur la sphère aux courbes planes remarquables étudiées par M. Moutard, et qu'il a nommées anallagmatiques du quatrième ordre. Par analogit;, je les désignerai brièvement sous le nom A' anallagmatiques sphériques.
Un telle courbe peut être placée sur quatre cônes du second degré (Poncelet). Soit G l'un de ces cônes et T son sommet; si l'on considère les divers plans tangents que l'on peut mener à ce cône, on voit immédiatement que la courbe peut être considérée comme l'enveloppe des cercles suivant lesquels ils coupent la sphère. Mais il importe de définir la suite de ces cercles par des considérations qui soient purement relatives à la sphère. Dans ce but, je remarquerai d'abord que tous les cercles considérés coupent orthogonalement le cercle de la sphère dont le sommet ï est le pôle, cercle que je désignerai par S ; en second lieu, que les foyers
poinl de son plan qui porte ce nom, et son pôle, le pôle de son plan par rapport à la sphère.
COURBES RÉSULTANT DE L'INTERSECTIoX U'UNE SPHERE AVEC UNE SURFACE. 3l
de ces cercles se trouvent sur le cône supplémentaire du cône G, avant pour centre le centre de la sphère.
En désignant par G la conique sphérique résultant de Pintcrseclion de la sphère par ce cône supplémentaire, on peut donc énoncer le théorème suivant :
Uanallagmafique sphérique peut être considérée comme l'enveloppe de cercles dont les foyers décrivent une conique sphérique^ et qui coupe orthogonalement un cercle fixe.
Par Tanallagmatique considérée passent, outre le cône G, Irois autres cônes G», G^, G3. Désignons respectivement par Si, S2, S., et G|, G2, et G3 les cercles et les coniques sphériques relatives à ces cônes et analogues à S et à G; Tanallagmatique pourra être engendrée, au mojen de l'une quelconque de ces coniques, de la façon défînie ci-dessus.
Il V a donc, en tout, quatre modes dilTérenls de génération.
Le plan polaire de chacun des sommets passant par les trois autres, il en résulte que chacun des cercles S, S|, S^ et S3 coupe orthogonalement les trois autres; les quatre cônes G, G|, G^ et (^3 sont homocvcliques, donc les quatre coniques G, G|, G2 et G3 sont homofocales.
6. Projetons sléréographiquement Tanallagmatique sphérique. On voit immédiatement que si Ton désigne par s la projection du cercle S et par k la projection de la conique polaire du cône G relativement à la sphère, conique que j'appellerai K, la courbe résultant de la projection de Tanallagmatique sphérique pourra être considérée comme l'enveloppe d'un cercle mobile coupant orthogonalement le cercle 5, tandis que son centre parcourt la conique k. — G'est donc une anallagmatique plane; et, comme Tanallagmatique sphérique, elle admet quatre modes de génération.
Il est important d'établir que les quatre coniques directrices, correspondant aux quatre modes de génération, sont homofocales.
A cet effet, soient G le pôle de transformation et i et y les deux ^génératrices isotropes passant parce point. On sait que les droites isotropes du plauN, sur lequel se fait la projection, forment deux systèmes distincts : Tun, que je désignerai par Iq, est formé de droites parallèles à i\ l'autre, que je désignerai par Jq, de droites
parallèles ày. — Considérons une droite isotrope du système I©, qui soit tangente à A*; les droites Ig et i sont dans un même plan, qui, contenant la génératrice /, est tangent à la sphère; il est tangent aussi à la conique K. Par suite, il est tangent aux coniques K|, K2 ^t Ks, et son intersection avec le plan N doit être tangente aux coniques A*i, A'j et A^. Ce que je viens de dire des droites du système Iq s'applique aux droites de Pautre système. Les quatre coniques considérées ont donc mêmes tangentes isotropes, et par conséquent sont liomofocales.
(Toutes ces propriétés des anallagmatiques planes ont été signalées pour la première fois par M. Moutard en 1861).
On démontrerait d'une façon analogue que la projection stéréograpliique d'une anallagmatique plane sur une sphère est une anallagmatique sphérique.
7. Au lieu de considérer l'anallagmatique comme résultant de l'intersection de la sphère par le cône C, on peut la considérer comme la courbe de contact de la développable circonscrite à la sphère et à la conique K.
Celle façon de considérer la courbe est peut-être celle qui se prête le mieux à la démonstration géométrique de ses propriétés.
J'indiquerai d'abord rapidement la disposition de ses foyers. Elle a quatre foyers singuliers, qui sont les foyers communs aux quatre coni()ues G, G| , Gj et Gj. Elle a seize foyers ordinaires, qui sont les points d'intersection de chacune des coniques K, R|, Rj et K3, avec celui des cercles S, Si, Sa et Ss qui lui correspond. Quatre de ces foyers sont réels; ils peuvent être tous les quatre sur un des cercles que je viens de mentionner, ou être distribués deux à deux sur deux de ces cercles. De là deux classes principales dans l'ensemble des anallagmatiques.
8. Propriété géométrique relative à trois foyers quelconques situés sur un même cercle. — Considérons, par exemple, le cercle S et y, g y li^ trois foyers situés sur ce cercle ; ces trois points se trouvent également sur la conique K. Soit M un point de la courbe sphérique; le plan Q langent à la sphère en ce point coupe le plan R de la conique K, suivant une droite [jlV langente à cette conique. Or, les trois points /, g et h étant sur la sphère, /M^,
COURBES RÉSULTANT DE L'iXTERSECTION D'UNE SPHÈRE AVEC UNE SURFACE. 33
^M^ et A M* sonl respeclivemenl proportionnelles aux distances de ces mêmes points au plan Q ou encore à la tangente uV. En appelant x^ jr et z ces distances, Téquation de la conique en coordonnées tangentielles est de la forme
Si maintenant nous remplaçons x, y et z par les quantités proportionnelles yM, g^\ et A M, il viendra pour l'équation de l'anal-
lagmatique
X/.\I -h ^g iM -h p/iM = o.
La même méthode permet d*élablir d'autres relations remarquables; ainsi, si l'on peut inscrire dans le cercle S un quadrilatère circonscrit à la conique K (auquel cas on pourra le faire d'une infinité de façons); en désignant par a, p, y, 8 les sommets consécutifs d'un tel quadrilatère, la courbe spliérique correspondante satisfera à une relation de la forme
— 5 ^ = consl .
mp — //î 0
Les courbes que Ton peut définir ainsi forment dans l'ensemble des anallagmatiques un groupe très remarquable; mais leurs plus importantes propriétés dépendent de considérations différentes de celles que je viens d'exposer. On pourrait les distinguer sous le nom général de cassiniennes, par analogie avec l'ellipse de Cassini, qui peut être considérée comme leur type principal.
9. Étant donnés quatre points/*, g^ h et A* situés sur un même cercle d'une sphère, proposons-nous de faire passer par un point M pris sur cette sphère une anallagmatique ayant les points donnés pour foyers ordinaires.
Soit RV la trace du plan tangent en M sur le plan du cercle ; le problème se réduit évidemment à construire dans ce plan une conique tangente RV et passant par les points donnés. Or, les points de contact des deux coniques satisfaisant à la question, points que je désigne par p et q, sont les points doubles d'une involution formée par les points de rencontre de la droite RV avec les différentes coniques que l'on peut faire passer par les points donnés. En particulier, le cercle qui les contient est une de ces L. - II. 3
34 aÉOMKTHlE.
coniques; soient a cl a' les points où il coupe RV. Les quatre points /?, (jr; a, a' sont en rapport harmonique; il en est de même (lu faisceau de droites M/?, Mq; Ma, Ma'. Mais les droites Ma, Ma' sont deux droites isotropes; donc Tangle pMq est droit; et comme Mp et M^ sont respectivement les normales aux anallagmatiques qui satisfont au problème et qui correspondent respectivement aux points p et </, il s'ensuit que ces courbes se coupent à angle droit.
