REPRÉSENTATION SUR UN PLAN DE LA SURFACE DU TROISIEME ORDRE

courbe esl l'interseclion de S par les droites dont Timage est formée par les triangles circonscrits à C, on voit que la surface V admet deux systèmes de génératrices rectiligncs; c'est par conséquent une surface du second ordre qui, d'ailleurs, passe par les quatre sommets du tétraèdre T.

On peut donc énoncer les propositions suivantes :

Toute conique du plan est l'image fVune courbe du sixième ordre y intersection de S et d'une surface du second ordre passant par les sommets du tétraèdre T ;

Et réciproquement :

Si Von coupe la surface S par une surface du second ordre passant par les sommets du tétraèdre T, la courbe d'intersection a pour image une conique,

12. En particulier, une asymptolique Z de la surface est située sur une surface du second ordre qui admet deux systèmes de génératrices rectilignes (G) et (G').

Si l'on applique aux points de rencontre de la courbe et de ces droites la dernière proposition du n'' 10, on obtient les théorèmes suivants :

Par chaque génératrice G, on peut mener quatre plans tangents à la surface; des quatre points de contact trois sont sur une même ligne droite D, qui appartient au complexe (Z) et qui engendre une surface du second ordre (A) coupant S suivant une courbe A; le quatrième point de contact décrit une courbe A'.

Par chaque génératrice G', on peut mener quatre plans tangents à la surface; un des points de contact est situé sur la courbe A, les trois autres sont sur une ligne droite D' qui engendre la surface du second ordre (A') qui contient la courbe A'.

On déduit de là que la surface développable circonscrite à S et à la surface du second ordre qui contient Vasymptotique Z se décompose en deux surfaces du quatrième ordre touchant S le long des courbes A et A'.

3'jS géométrie.

13. Les beaux théorèmes de Poncelet sur les polygones cîrconscrils à une conique, tandis que leurs sommels décrivent d'autres coniques, conduisent à plusieurs propriétés intéressantes de la surface S, relativement surtout aux diverses surfaces réglées que Ton peut faire passer par des courbes tracées sur ces surfaces; je reviendrai plus tard sur ce sujet qui, pour être convenablement traité, exige une étude préalable du théorème de Poncelet luimême.

SUR