L. - II. ai

3ai 0É09IÉTRIE.

triangles dont je viens de parler lui sont circonscrils, el Ton sait que le cercle circonscrit a un triangle, circonscrit lui-même à ane parabole, passe par le fojer de celte courbe.

Le point O est donc le fojcr de cette parabole, ou eacore le point de rencontre des tangentes qu'on peul lui mener par les ombilics.

5. Uevenant maintenant au cas général, nous voyous que pour construire le neuvième point commun aux courbes du troisième ordre, qui passent par les six sommets d'un quadrilatère complet et deux points donnés a et 6, il suffit d'inscrire dans le quadrilatère une conique tangente à a6, et par les points a et 6 de mener <Ies tangentes à celte courbe; le point d^interseclion de ces droites «'st le point clierché.

En d'autres lermes, si trois points A, B f»/ G de la sur/ace S sont en lifj^ne droite, leurs images a, b et c sur le plan forment un triangle dans lequel on peut inscrire une conique inscrite dans le quadrilatère Q.

Pour abréger, j'appellerai simplement coniques du faisceau l(;s coniques inscrites dans le quadrilatère Q.

6. Considérons une droite tangente au point  à la surface S, ou, si l'on veut, passant par le point A et le point induiment voisin A' ; si Ton désigne par a et a les images des points A cl A', on voit que, pour obtenir Timage du troisième point où la tangente rencontre la surface, il suflit de construire une conique du faisceau tangente à aa\ et de mener par a la seconde tangente à celte conique; le point de contact b de cette tangente est l'image du point clierché.

D'où les conséquences suivantes :

1*^ Le plan mené au point A, tangentiellement à S, coupe cette surface suivant une courbe du troisième ordre à point double, lieu des points de contact des tangentes que l'on peut mener du point a aux coniques du faisceau.

2° Les lignes asymptofiques de la surface S ont pour images les coniques du faisceau.

En cn'cl, soit / une tangente à l'une de ces coniques et touchant

REPRÉSENTATION SUR UX PLAN DE LA SURFACE DU TROISIÈME ORDRE. 3a3

celle courbe au point a, le point de contact de la deuxième tangeote, qu'on peut mener du point a à la conique, se confond avec le point lui-même, la proposition est donc démontrée (*).

3** Si l'on circonscrit à la sur/ace les deux cônes du second degré qui ont pour sommet un point A de cette surface, les deuac cubiques de contact ont pour images les tangentes aux deuac coniques du réseau qui se croisent au point a.

7. Soient z wne conique du réseau représentant rasymptoti(|ue Z de la surface S et M un point de cette asymptolique; il est le sommet de deux cônes du second degré circonscrits à S et qui la louchent suivant deux cubiques gauches dont Tune est représentée par la tangente menée en m à la cubique z] je dirai que cette cubique appartient à Tasymptolique Z, en sorte que Tensenible des cubiques appartenant à cette courbe sera représenté par Tensemble des droites tangentes à z,

£n se reportant au n^ 7, on déduira facilement de cette définilion la proposition suivante :

L>ci surface développable, qui a pour arête de rebroussement une cubique appartenant à une asymptotique Z, coupe la suryace suivant cette asymptotique,

\yo\x encore :

Si l'on circonscrit à S les deux cônes du second degré qui ont pour sommet un point M de cette surface, les surfaces développables dont les courbes de contact sont les arêtes de rebroussement coupent S suivant les asymptotiques qui se croisent au point M.

8. Soient une cubique quelconque appartenant à Tasymptolique Z et  l'un de ses points; joignons  à un autre point quel-

(*) Clebsch a le premier trouvé les asymptotiques de la surface de Sleiaer don l on déduit, par réciprocité, les asymptotiques de la surface donnée.

M. Darboux {Bulletin des Sciences mathématiques, t. I, p. 355) a, d'une façon plus générale, déterminé les lignes asymptotiques des surfaces comprises dans Téquation

\X'"n- B>"-i Cz'^n- Dt"— O.

3a4 GÉOMÉTRIE.

conque B de la cubique, la droîle ainsi obtenue rencontre S en un point C dont il est facile d*avoir Timage.

En oflet, a et 6 étant les images des points A et B et c Timage du point G, il suffit (n° 5), pour construire le point c, de considérer la conique ^ qui est tangente à ab et de mener par les points a et b deux tangentes à cette courbe; le point d'intersection de ces deux droites, qui est le point c, est nécessairement sur la tangente menée par le pointa; d'où cette conséquence importante :

Étant donnée une cubique quelconque appartenant à Vasymptotique Z, si Von imagine un cône quelconque du second degré contenant cette cubique, il coupe la surface S suivant une seconde cubique qui appartient également à Vasymptotique Ta ;

Ou autrement :

Deux cubiques appartenant à la même asymptotique sont située^ sur un même cône du second degré, ayant pour sommet le point d'intersection de ces courbes qui est distinct des sommets du tétraèdre fondamental T.

9. Lemme. — Quand un tétraèdre est inscrit dans une cubique gauche, toute corde de la cubique coupe les faces du tétraèdre en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.

Soient maintenant deux cubiques quelconques appartenant à uiïe asvmplotique Z; ces deux cubiques sont toutes deux circonscrites au tétraèdre T et sont situées sur un même cône du second degré; elles ont donc une infinité de cordes communes; on déduit, de la et du Icmme précédent, la proposition suivante :

Les cordes de toutes les cubiques appartenant à Vasymptotique Tj coupent les faces du tétraèdre T en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.

Leur ensemble constitue ainsi le complexe remarquable du second ordre étudié par MM. Chasles, Re^'C, Lie, Darboux (*).

(') Voir oolummenl Reye, Géométrie der Lage, t. II, p. ia6 et 399.

REPRÉSENTATION SUR UN PLAN DK LA SURFACE DU TROISIKME ORDRE. 3a5

En particulier, les tangentes aux cubiques font partie du cornf>lexe ainsi que les tangentes à l'asymplotique Z qui est l'enveloppe d« ces cubiques. Par suite :

£06$ tangentes à une asymptotique Z rencontrent les quatre Zaces du tétraèdre T en quatre points dont le rapport anhar-

onique est une quantité constante Ç, et le complexe (Z) des roi tes, qui sont partagées dans le même rapport par les /aces u tétraèdre, se compose des cordes des cubiques appartenant

cette asymptotique (• ).

On déduit encore de ce qui précède les propositions suivantes :

Étant données deux cubiques gauches situées sur un même âne du second ordre, ces deux cubiques se coupent en quatre oints A, B, C ^/ D distincts du sommet du cône; cela posé, les urfaces développables, dont ces cubiques sont les arêtes de ebroussement, se coupent suivant une courbe du dixième rdre et une courbe R du sixième ordre et de quatrième classe; ette courbe K, les deux cubiques gauches et les six arêtes du Métraèdre ABCD sont situées sur une même surface du troi- ^^ième ordre dont K est une asymptotique.

Le cône du complexe ayant pour sommet un point donné de da surface S est le cône du second degré qui contient les deux cubiques appartenant à l^ asymptotique Z et se croisant en ce ^oint.

Tous les cônes circonscrits à S et ayant leur sommet sur Z sont des cônes du complexe.

10. Une droite quelconque de l'espace, rencontrant la surface fondamentale S aux points A, B et G, peut être représentée par le *rtangle abc^ dont les sommets sont les images des points A, B et G.

Une droite de l* espace aura donc pour image un triar}gle rconscriptible à une conique du faisceau.

En particulier, toutes les droites du complexe (Z) ont pour

( ' ) Cf. SoPHUS Lie, Ueber Complexe, mit Anwendung au/ die Théorie par- ^^^ller Differential'Gleichungen {Math. Ann., t. V).

3aG GÉOMÉTRIE.

imagos les flivers triangirs que l'on peul circonscrire à la conique s.

Soient nbc Tiin de ces triangles cl a, 3, y les points où z est respectivement toncliée par les cotés bc, ca, ab. Le plan mené par A tangenliellemeni à S con[)e cette surface (n** 6, i^) suivant une cubique à point douMe qui a pour image le lieu des points de contact (les tangentes que Ton peul mener du pointer aux coniques du faisceau ; cette courbe, et par suite le |)lan langent, passe donc par les points de Tasymptotique qui ont leurs images en ^ et y; on démontrerait de même que les plans menés en B et C, langentiellemenl à S, passent resp(*clivcment par les points de l'asymptolique dont les images sont v, a et a, p.

On peul donc- énoncer la proposition suivante :

Si l^on coupe la surface S par une droite quelconque du complexe (Z), les plans tangents, menés à la surface aux trois points (le rencontre, forment un trièdre dont les trois arêtes rencontrent Z.

Autrement :

Si les trois faces d'un trièdre circonscrit à la surface S la touchent en trois points situés en ligne droite, des neuf points d'intersection des arêtes du trièdre avec la surface, il y en a trois qui sont situés sur une même asymptotique.

Réciproquement :

Un triangle quelconque étant inscrit dans une asymptotique Z, on peut toujours construire un trièdre dont les faces passent par les côtés de ce triangle et qui touchent la surface en trois points situés en ligne droite. Cette droite appartient au complexe (Z).

11. Soit K une coni(|uc quelconque située dans le plan sur lequel on fait l'image de la surface; on peut construire deux conicpies du faisceau C et (7 telles qu'à chacune d'elles on puisse circonscrire des triangles inscrits dans K.

1/cnsemhle des triangles circonscrits à C représente un système de droites s'appuvant sur R en trois points; K est donc l'interseclion de S par une surface réglée V. Comme, d'ailleurs, la même