I. — Considérations préliminaires

1 . Bien que les considérations suivantes puissent élre appliquées a toutes les surfaces algébriques, et en particulier au plan (*), je ne les développerai, dans ce Mémoire, que relativement aux courbes que Ton peut tracer sur une surface du second ordre.

Soit S une surface du second ordre, elle possède deux systèmes de génératrices rectilignes; avec M. Chafi\es[T/iéorie des courbes tracées sur Vhyperboloîde à une nappe {Comptes rendus, i86i)] j'appellerai directrices les droites de l'un de ces systèmes, en réservant le nom de génératrices aux droites de l'autre système.

Prenons arbitrairement sur S une conique R que je désignerai sous le nom de conique fondamentale ; cette courbe est unicur-^ sale, c'est-à-dire qu'on peut désigner chacun de ses points par la valeur d'un paramètre t et de telle sorte qu'à chaque valeur du paramètre corresponde un point unique de la courbe.

Soit M un point de la surface S; par ce point passe une directrice de la surface coupant K en un point unique, dont je désignerai le paramètre par x\ par ce même point passe une généra-

(> ) Le cas du plan présente naturellement un très grand intérêt, mais demande pour l'application de la théorie quelques explications dans lesquelles je n*ai pas voulu entrer ici.

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trice de la surrace coupant K en un point unique, dont je désignerai le paramètre par^. 11 est clair, du reste, que le point M est complètement déterminé et sans ambiguïté par les denx quantités X cl y; ']e les appellerai les coordonnées du point M.

L'équation d\ine courbe tracée sur S sera de la forme y(x,j^)=o; son degré />, relativement à la variable x^ indiquant en combien de points elle est coupée par une génératrice quelconque, et son degré </, relativement à la variable y^ indiquant en combien de points elle est coupée par une directrice. ( Voy. Cha.sles, loc. cit.)

2. On connaît le procédé ingénieux employé par Plîîcker pour rendre homogène l'équation /{x, y) = o, en remplaçant les va-

riables j? et^ par - et — ; nous emploierons ici un procédé ana-

logue en remplaçante: par -7 et^ par — , • De cette façon* l'équation d'une courbe algébrique tracée sur S deviendra

le polynôme F étant homogène et du degré p par rapport aux deux variables x et jc', homogène et du degré q par rapport aux variables y et y,

3. Cela posé, je rappellerai d'abord ce que l'on nomme émanant d'une forme binaire ou d'un polynôme algébrique homogène à deux indéterminées.

Soit [J(x^x') un tel polynôme; on appelle émanants de ce polynôme les divers polynômes compris dans les expressions suivantes :

dV ,^ ^ dx'^^ dx'

â y' dx^ "*" '^^^ dxdx' '^^ dx^J '