APPUCATION DE LA THÉORIE DES FORMES BINAIRES

forme U, et l'indice qui lui est adjoini. le degré de cet émanant par rapport aux lettres y et r'.

Lorsqu\ine forme est de degré pair, elle possède un émanant dans lequel les variables x et y enlrenl an même degré; j'appellerai cet énnanant émanant principal de la forme, et je le désignerai par la notation (U), en omeltant l'indice adjoint à la parenthèse, lorsque cela ne donnera lieu à aucune ambiguïté.

4-. Il résulte de ce qui précède que tout émanant d'une forme U se réduit à cette forme lorsque l'on identifie les variables x^ x'

Soit U la forme du degré {p -h q) à laquelle se réduit le polynôme F(^, x'; y^ y) lorsqu'on fait x'= x et r'= >'; l'expression

est homogène et du degré p par rapport aux variables x et j?', homogène et du degré q par rapport aux variables j^ et j''; de plus elle s'annule lorsqu'on fait x = x' Q\.y=zy'^ elle est donc divisible par

yx'^xy' = (0,

et Ton peut poser

F| désignant un polynôme du degré p — i par rapport aux variables x^ af ^ et du degré q — i par rapport aux variables j', y ,

On peut appliquer au polynôme F| le même raisonnement et, en continuant de proche en proche, mettre l'équation d'une courbe, tracée sur la surface du second ordre S, sous la forme suivante :

4> = (U)^-hw(VV-,-f-co«(W)^,-h...= o,

OÙ u, V, W, •• . désignent respectivement des polynômes entiers en X et x\ des degrés/? 4-5^, p -\- q — 2, P ~^ 9 — 4» ••••

S. En particulier, si l'on ^ p^^ q^ l'équation de la courbe pourra se mettre sous la forme

* = (U ) -h œ( V) -h co«(\V) -+-. . .= o, où U7 V et w désignent respectivement des polynômes entiers

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en X et a:', des degrés ip, i{p — i), i{p — 2); et je ferai observer que, dans ce cas, ^ est homogène et du degré p par rapport aux quantités x — y, xy et x -{-y ( • ).

6. Par la forme précédente que j'ai donnée à l'équation d'une courbe algébrique, on voit que cette équation s'obtient en égalant à zéro un polynôme ^, qui est un covariant double des formes U, V, W, ... ; on sait, en effet, que co est un covariant double de toutes les formes et qu^m émanant quelconque d'une forme est un covariant double de cette forme.

De là résulte que Tétude de cette courbe se rattache intimement à l'étude simultanée de ces formes; je ne veux pas dire par là qu'elle s'y réduise, car, pour étudier complètement une courbe, il est nécessaire de la comparer avec d'autres courbes qui introduisent d'autres formes dans cette étude.

On pourra toujours néanmoins, dans un calcul relatif à un certain nombre de courbes, faire en sorte que l'on n'ait a considérer que des invariants ou des covariants d'un système de formes binaires, et profiter de leurs [)ropriélés connues pour en déduire des propriétés géométriques de ce système de courbes, ou pour simplifier les opérations.

S'il s'agit, par exemple, de calculer un covariant simple, il suffira de calculer son premier ternie; s'il s'agit d'un invariant, on pourra le calculer sous sa forme canonique (^).

7. Eclaircissons ceci |)ar un exemple. Je ferai auparavant remarquer que, si O désigne le pôle du plan de la conique fondamentale K par rapport à la surface S, les coordonnées d'un point M de cette surface étant x et y, les coordonnées du point M' où le rajon OiM perce S sont j^ et x. De là résulte que si une courbe peut être placée sur un cône ayant pour sommet le point O, son équation doit être symt'triqtie en x et y; elle doit èlre par conséquent de la forme

(U)-4-coî(W)-4-...= 0,

et ne pas contenir les ptiissances impaires de co.

(') Ici, pour abréger, je fais, comme je le ferai plus communément, dans la suite de ce Mémoire, jr' = ^'=i.

(') Voir en général, sur celle théorie des formes, V Algèbre supérieure de Salmon (Paris, Gauthier-Villars).