APPLICATION DB LA THÉORIE DES FORMES BINAIRES

En pai riculicr, considérons une biquadratiqne gauche Iracée sur S, c'est-à-dire la courbe du qualrième ordre qui résulte de rintersection de S par une surface du second ordre n'ayant avec elle aucune génératrice commune. Gomme on peut la placer sur quatre rônes différents, son équation pourra, de quatre façons différentes, se mettre sous la forme

(U)-hA:a)«=o,

k désignant une constante et U un polynôme du quatrième degré; si l'on fait

l'équation de la courbe sera par conséquent

( i) j^*(ax*-+- 26a: 4- c) -h iy{hx^->r 'xcx h- d)-\-(cx'^-\- idx -h e)-^k{y — a?)'=o.

Pour trouver les génératrices de la surface qui touchent la courbe, il faut chercher pour quelles valeurs de y, x acquiert des racines égales. Ces valeurs seront données par l'équation FQ') = o, oii F désigne le discriminant de l'équation précédente pris par rapport à x\ de même, pour une raison de symétrie, les directrices de la surface tangentes à la courbe seront déterminées par l'équulion F(a7) = o.

Quelle est V équation générale des biquadratiques tangentes à quatre directrices données et pouvant être placées sur un cône dont le sommet est en O?

Il est clair que, pour résoudre cette question, il faut déterminer de la façon la plus générale le polynôme U et la constante k de telle façon que le discriminant F(x) soit un polynôme donné.

On voit aussi facilement que le problème est identique avec l'intégration de l'équation différentielle d'Euler, qui sert de point de départ à la théorie des fonctions elliptiques. En effet, Téquation (1), étant successivement ordonnée suivant les puissances decroissantes.de x et de jk, peut se mettre sous les deux formes suivantes :

Mar*-4-2Na:-+-P =0 et M>î-+- aN> h- F= o, d'où l'on déduit par la différentiation

(Mar -f- ^)dx -+- (M> -+- \)dy = o;

334 OÉONÉTIllE.

évidemment

Mj:-+-N = /F(ar; et M> -+- N' = v/FÔÔ,

réqualion devient donc

dx dy ^

et Ton voit que, pour inté^er cette équation, il faut (ce qui est précisément la méthode de Cauchy) déterminer le polynôme U et la constante k de la façon que j'ai indiquée.

Comme le discriminant V{x) est un covariant de la forme U, il suffît de calculer son premier terme; en ne conservant dans U que les termes du degré le plus élevé en x, il se réduit à x^{ay'^'\' iby -\- c -\- A"), d'où Ton voit que le terme de F(j:) du degré le plus élevé en x est {ac — b^)x^ -|- kax^ \ par suite on a V{x) = 11-4-^:11, H désignant le hcssien de U.

8. Supposons maintenant que nous remplacions UparaU+6^H, a et ^ désignant des quantités numériques indéterminées. Sans faire de nouveau calcul, on s:iit, piir les importantes formules dues à M. Caylejr, que H devient (a|ÏS -H 9|3^T)U + (a^ — 3p*S)H («), S et T désignant les invariants fondamentaux de la forme U.

Par suite F(:r) devient MU + (a-» — Sp-'S -+- 6*p)H, M désignant un nombre dont il est inutile d'écrire la valeur.

Pour que le discriininanl F(^) prenne donc (à un facteur numéri({uc près) une valeur donnée U, il suffît de choisir la constante A* de façon que Téqualion a^ — S^'^S 4- ÔA^ = o soit satisfaite. D'où la proposition suivante :

Soit U un polynôme quelconque du quatrième degré; en désignant par H son hessien et par S son invariant quadratitiiic, ^intégrale générale de l équation

dx dy

est

(>3(aU-+-63H)j-4-('3p»S - aî)(x- r)*=o,

(') Salmon, Algèbre supérieure, p. i83.