APPLICATION DE LA THÉORIE DES FORMES BINAIRES

le rapport a : ^ étant la constante arbitraire introduite par l ' in tégra tion.

La parenthèse afiectée de rindice 2 désigne ici l'émananl principal de la forme (xU + 6pH.

II. — Équation d'une section plane ; système de coordonnées dans l^ espace,

9. L'équation d'une conique tracée sur la surface est de la forme

je considérerai les quantités A, B, G, K, qui entrent dans celle équation, comme les coordonnées du point de l'espace dont le plan polaire par rapport à la surface est le plan de la conique.

On pourrait aussi les regarder comme les coordonnées langenlielles de ce plan, et je le ferai quelquefois ; mais généralement je les emploierai comme coordonnées ponctuelles.

Cela posé, étant données les équations de deux coniques

^(Ajth- B)-4-(Ba:-f- C)-f- KO* — x) o

y(k'x -4- B') 4- (B'a: -h C) h- Yi'{y — a-) = o,

on voily par un calcul facile, que la condition nécessaire et suffisante, pour que le plan d'une de ces coniques contienne le pôle du plan de Tautre, est contenue dans la relation suivante : AC'+CA' — 2BB'+2KK'=o. I^ar suite, Téquation du plan polaire (par rapport à la surface) du point de l'espace doni les coordonnées sont A'^ B', C, R' est

AC'-+- G A' — 2 BB' -i- x KK' = o ;

el, celte équation étant linéaire par rapport aux variables, il en résulte que le système de coordonnées employé est simplement un système particulier de coordonnées létraédrales.

10. Dans tout ce qui suit, on voit que j'emploierai simultanément deux systèmes de coordonnées, dont Pun (en x cl y) ne se rapporte qu'aux courbes tracées sur la surface, tandis que Taulre (en A, B, G, K) s'étend à tous les points de Fespace.

La même équation, suivant que l'on y considérera les x^y ou les A, B, C, K comme les coordonnées courantes, présentera un sens diflerent.

1 1 . Cherchons les coordonnées reclilignes d'un poinl (or, y) de la surface. En désignant par X, Y les coordonnées courantes^ la conique suivant laquelle la surface est coupée par le plan polaire du point (ici cette conique se réduit à deux droites) a pour éifua-

tion

(X — a:)( Y ->') = XY -^X - a?Y -4- apjr = o;

si Ton identifie cette équation avec Téquation (2), on en drJiiil les

relations

A B-hK ^ B~K ^ C

I "" — X "" — y "~ xy d'où encore

I or '\- y xy y — x

Ces formules serviront à trouver en coordonnées reclilignes l'équation d'une courbe donnée en coordonnées de la sur/ace, et je ferai, à ce sujet, cette remarque importante que si, dans un invariant de la forme (A, B, C) et d'un nombre quelconque d'autres formes, on remplace respectivement A, B, C, K par les valeurs données ci-dessus, le résultat sera un covariautdu système composé de ces formes.

12. En |)articulier, supposons que l'équation d*une courbe M soit de même degré p par rapport k x elk y\ on sait que (n" 3), dans ce cas, son équation est homogène par rapport aux quantités X — y^ X -i-y et xy] en remplaçant ces quantités par les expressions données, on obtiendra Téquation d'une surface de degré />, qui contiendra la courbe et dont celte dernière constituera l'inlerseclion complète avec la surface du second degré fondamentale ( * ) ; et je ferai observer que cette équation sera un invariant du système de formes qui caractérisent la courbe.

(*) Voir, à ce sujet, la Noie de M. IJalpben, môme Tome, p. nj.