APPLICATION DE LA THÉORIE DES FORMES BINAIRES

Ainsi, Téquatlon d'une hiquadralique étant

jr^ ( €ur^ -V- a bx-^-c ) -h iy{bx^ -+- a cjc -+- 1/ ) -+- cy^ 4- 5t cte -h c -h X:( j — a: )' = o,

on pourra la inellrc sous la forme

ajc^y^ -V- ibxy{x-\-y)+c[(y -^T)^ ->r'>.XY]-\-'xd{x -^y)->r e -^^ k(y — a:)» = o,

cFoù l'on déduira, enemplovant le tableau (3), l'équation en coordonnées reclilignes d'une des surfaces du second degré qui contient la biquadratique

on simplement E H- *ik¥J^= o, en désignant par E l'invariant fondamental des formes (A, B, G) et (a, 6, c, rf, e)

:iaG«-26BC-hc(2B«-*- AC) — 2^BA-hicA«.

13. Si l'on élimine les variables x ci y entre les équations (3), on obtient évidemment l'équation en coordonnées rectilignes de la surface du second degré S. Celle équation est K-'-f- D = o, en représentant, comme je le ferai constamment dans la suite de ces recherches, par D l'invariant AC — B'-* de la forme (A, B, C).

m. — Recherche de la forme la plus simple que Von peut donner à r équation d'une courbe; groupes de courbes,

14. On peut, en faisant varier la conique fondamentale, donner une infinité de formes à l'équation d'une courbe donnée M.

Les formules de transformation peuvent évidemment (sans nuire à leur généralité) être mises sous la forme

a, p, Y et S désignant des quantités numériques; en sorte que l'on dispose de trois constantes arbitraires.

La chose la plus importante est d'obtenir une équation de la courbe donnée dans laquelle entre le moins de formes possible.

A ce point de vue, on établit facilement que l'équation des cubiques gauches peut, dune infinité de façons, être mise sous une forme qui ne contienne qu'une forme binaire cubique; sa forme générale est en efiet

(ax^-k- Sbx' -h jcjr -h d)i -h {a'x -t- ô'y) (y — j^) = o,