L. — II

:-;;iH

OKOMI.TinL*.

et l'on peut, d*iine infinité de manières, disposer des Irois constantes arliitraires en sorle que </ et 6' sVvanouissenl.

L^éqnalion de la l)i<|uadratiqiie peut (comme on le sait dep^ être mise, de «pialre façons diflVrentes, sous une forme où d ^V parait qn^un polynôme du quatrième degré.

L*équalion général*' de la quartique gauche, c'est-à-dire d« ** courbe du quatrième ordre par laquelle on ne peut faire ps qi^une surface du second ordre, est

Cax*-H 4/>x*-h ùcx^-T- \dx -^ e>i-*-(a'ar*-»- 7.b' x-^- c')(jr — ar) =

et un calcul simple fait voir que Ton peut, d^une seule façon, poser des constantes arbitraires en sorte que a', b' et d s'< nouisseiit; on |)eul donc mettre Téquation delà quartique (et d*iine seule manière bien déterminée) sous une forme où n^a rait qu*unc seule forme biquadratique; ce sera pour nous réc| tiou réduite de la courbe.

15. Ëtant donné un système quelconque de formes, je class dans un même groupe toutes les courbes dont Féquation ne dép que de ces formes et de leurs divers covariants, et je dirai toutes ces courbes constituent les formes du groupe.

Ainsi) étant donnée une forme biquadratique U, les courbes appartiendront à son groupe seront toutes celles donl Téquat renferme seulem<;nt la forme U elle-même, son hessien H et ! covariant du sixième degré J.

Si l'on s'en lient aux courbes dont le degré ne dépasse pa& on voit que ce groupe contient seulement des biquadra tiques des (|uarli(pi(*s gauches.

Toutes les l)i(|uadratiques du groupe forment un svstème coi' jugué par rapport à \\x\ tétraèdre fixe qui caractérise le groupe c\?sl-à-(iire (|ue les sommets de ce tétraèdre sont les sommets de quatre cùn(;s qui contiennent chacune de ces courbes. Les quartiques jouissent de propriétés analogues par rapport à ce tétraèdre.

C'est le groupe dont je viens de parler que je veux étudier d'abord dans la suite de ces lecherches.

Mie

«li n 1%

Nouvelles Annales de Mathématiques ; i^<73 et iH-^^.

* - -tL^s coniques, inscrites dans un quadrilatère fixe, qui touchérit iifig courbe de troisième classe donnée K, sont au nombre de €ic>nze. Les douze points de contact, les neuf points de r^^^o €issement de K et les six sommets dit quadrilatère circonsc^'il sont situés sur une même courbe du cinquième ordre.

^^ «ITel, soient C«* A.c,é/)(X,îx)^=o, (A,B,C)(X,ii)'=o, (A', B',C')(X,|x)'=o

les «cjuationj respectives d'une courbe de Iroisième classe K et de deux coniques C ^ ^ •«scrites dans le quadrilatère O.