PAR SIX POINTS DONNÉS DE L ESPACE

Bulletin de la Société' mathématique de France; 1S73.

1 . Un gprand nombre de propriétés intéressantes des surfaces du second ordre (ou quadriques) qui passent par six points donnés de Tespace dépendent de la décomposition d'un polynôme du sixième degré en la somme de quatre carrés.

Dans celte Note, je me restreindrai au cas le plus simple où on le met sous la forme d'une somme de trois carrés, ce qui correspond, au point de vue géométrique, à Tétude des cônes du second ordre que Ton peut mener par six points (*).

S. Comme, dans tout ce qui suit, je m'appuie surtout sur quelques propriétés des cubiques gauches, je crois tout d'abord devoir les rappeler brièvement.

Soit aX'-4-36X*-4- 3cX H- rf=: o l'équation d'un plan mobile, >w désignant une variable numérique arbitraire; ce plan enveloppe une surface du quatrième ordre, dont l'arête de rcbroussement est une cubique gauche K, définie par le système d'équations

(*) Voir, à ce sujet : Hierholzer, Sur une surface du quatrième ordre i^Math, Ann., t. IV, p. 172).

à chaque valeur de A correspond un plan osculalear de la cubî

dont je désirerai le poinl de contact sous le nom de point *

en disant que \ est le paramètre de ce poinl. On voit facilemi

d'ailleurs, que les coordonnées de ce point sonl données par

formules

fl ^ c d

7 ~ ^^ ^ X» ~ ^^^A»' 3. L'équation d'un plan quelconque étant

on voit que ce plan coupe la cubique K en trois points dont les p mètres sonl les racines de Téquation aX'-f-S^X^ + SyX-f- 8 ces points définissent d'ailleurs complètement le plan, en qu'on peut le considérer comme déterminé par le polynôme troisième degré qui forme le premier membre de cette équatî -* Dans ce qui suit, si A représente d'une façon générale Téqual. ^ d'un plan, A' désignera le polynôme qui a pour racines les pat ^ mètres des points où ce plan coupe la cubique. Le degré der polynôme A' s'abaissera du reste, si le plan passe par le point la cubique dont le paramètre est infini ; l'équation m = o, 'f^ exemple, où m désigne une conslanlc, est l'équation du plan o^ ^ lateur en ce point.

-4. Etant donnés six points dans l'espace, on peut mener ^" ces six points une infinité de cônes du second ordre dont les scf^ ^ mets sont situés sur une surface du quatrième ordre S. Les dil^ rentes génératrices de ces cônes forment un complexe de droi ^ du sixième ordre ; en effet, étant pris arbitrairement un point M l'espace, pour qu'une droite passant par ce poinl soit une drc^ du complexe, il faut et il suffit que l'on puisse construire un ce du second ordre ayant son sommet sur cette droite, et passant f les six points donnés ainsi que par le point M.

Or, d'après un beau Mémoire de M. Hesse {Crellej l. 49) lieu des sommets des cônes du second ordre que l'on peut me J par sept points donnés est une courbe gauche du sixième ordre le cône du complexe, qui est le cône projectif de cette courbe, donc aussi du sixième ordre.

1-ES CONES DU SECOND DEGRÉ QUI PASSENT PAR SIX POINTS DE L'ESPACE. 3'|3

S. La surface S est le lieu des courbes Q. On peut, par les six points donnés, mener une cubique gauche bien déterminée K; soit V = o l'équation du sixième degré dont les racines sont les paramètres de ces points. Je ferai remarquer que le degré de cette équation peut s'abaisser au cinquième, si le système de coordonnées est tellement choisi que le paramètre d'un des points donnés soit égal à l'infini.

Considérons un des cônes du second ordre que l'on |>eut mener pai* les six points; son équation peut se mettre, d\ine infinité de façons, sous la forme AC — B^=: o, où A = o et C = o désignent les éc|iiations de deux plans tangents quelconques à ce cône, et " == o l'équation du plan des génératrices de conlact. Les paramètres des points de rencontre du cône avec la cubique sont évi- ^^Giinnnent les racines de Téquation A'C — B'^=o; on doit donc avoir V = B'^ — A' G'. El réciproquement, si l'on met le polynôme "•^^ sixième degré V sous la forme précédente, on en déduira ^^tiation d'un cône du second ordre passant par les six points.

^- Etant donnée une droite quelconque du complexe, c'est-

^^^'■"e une génératrice d'un cône du second ordre passant par les

^ points, on peut la déterminer par Téquation A = o du plan

'^S'^ot au cône le long de cette droite, et par l'équation B = o du

'^ '^^^ ruené par cette droite et par le point de la cubique dont le

^ '^^n^ètre est Tinfini.

^-^^ cette façon, on voit que le polynôme B' sera simplement du

, ^^ri<l ordre, et l'on devra avoir V = B'^ — A'C. Soient /?, gr, r

**^cines de l'équation A'= o; pour chacune de ces racines, on

^ B'=y/V; et, le polynôme B' étant du second degré, on **i:^ le déterminer parla formule de Lagrange. * l'on pose pour un instant A'=/(a) = (). — p)(k — q)(k — r) ^= <p(X), on aura

n déduirait facilement de là les équations A = o et B = o des s qui déterminent la droite du complexe, et l'on voit que ses

quatre coordonnées s'exprimeront au mojen des variables p, q^r ^ Félimlnation de ces variables entre les équations qui donneol ce^9 coordonnées fournira Téquation elle-même du complexe.

7. Un plan quelconque est tangent à quatre cônes du complexe. En effet, A = o étant Féqualion de ce plan, si Ton pose

on voit, par ce qui précède, que les génératrices de contact sont, déterminées par l'expression (p(X)=:o, expression qui, à cause des doubles signes, est susceptible de quatre valeurs.

Les équations de ces quatre droites (dans le plan donné) sont de la forme

M = o, N = o et P=o étant les équations des côtés du triangle formé par les trois points où le plan donné coupe la cubique gauche K.

D'où celle conclusion :

Un plan pris arbitrairement est tangent à quatre cônes du complexe; les génératrices de contact forment un quadrilatère complet; les trois points de rencontre des diagonales de ce quadrilatère sont les points oii le plan coupe la cubique gauche K.

8. Le lien intime qui existe, d'après les considérations précédentes, entre la décomposition en trois carrés d'un polvnome du sixième deîgré et le problème qui consiste à construire les diflerents cônes du second degré qui passent par six points donnés de l'espace, nous indique naturellement le rôle que jouent ces cônes dans la théorie des fonctions ultra-elliptiques du premier ordre.

Soit, en cfTel, AC — B-=o l'équation d'un de ces cônes; le plan in()i)ile dont Téquation est T = Ap-H- 2Bp -|- C = o, p <lésignant une variable arbitraire, enveloppe ce cône; et les paramètres de ses points de rencontre avec la cubique R sont donnés par l'équation

(i) r= A'p«-+-2B'p-hG'=o.

Le plan mobile se déplaçant, si Ton l'ait varier à la fois p et le

lES CONES DU SECOND DEGRÉ QUI PASSENT PAR SIX POINTS DE L'eSPACE. 345

L mètre ^, on aura par la difleren lia lion

cfk -h 2( A'p -^ B') dp = o,

^ ci

OMM^ comme A'p + B'= v/B'» — A'C'= \/V, en vertu de l'équatio« (,),

-5r- éfX -h 2 /V rfp = o, OU encore -— = 7=7--

"Sx"

D désignant para et b deux constantes quelconques, on déduit <ie là

est un polynôme du second degré en X; par suite, diaprés

écréme d'EuIer bien connu, si Ton fait la somme, pour toutes cînes de l'équation (1), des valeurs que prend alors le second

\)re de Téquation (2), le résultat est identiquement nul. On

TIC aussi, quels que soient a et 6,

{a-\-bx)dx {a-\-by)dy (a-hbz)dz__

et z désignant les paramètres des trois points où le plan qui loppe le cône coupe la cubique.

m déduit de là la proposition suivante :

tant donnés, sur une cubique gauche, six points dont les

mètres sont les racines de r équation du sixième degré

o, si l'on considère un quelconque des cônes du second

'^e qui passent par ces six points et deux des plans tangents

e cône, en désignant respectivement par Xq, y^ et Zq les

<imètres des points où le premier de ces plans coupe la

ique, et par X\ , j'i et z^ les paramètres des points d'inter-

^lon relatifs au second plan, on a les deux relations

'• ^^ ^yt dy r'' dz

r ' dx ^ r^' dy ^ /•- dz

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