LA GÉOMÉTRIE AU CALCUL INTÉGRAL

Bulletin de la Société philo mathique; 1867.

§ 1. — En étudiant les beaux thëorèmes découverts par M. Poncelet sur les polygones simullanément inscrits et circonscriis à des coniques, Jacobi a montré, le premier, le lien intime qui unil celte théorie à celle des fonctions elliptiques et fait voir comment, en employant un système de cercles ayant même axe radical, on pouvait eflTecluer géométriquement Taddition et la multiplication des fonctions elliptiques. En terminant son Mémoire, Jacobi avait tait remarquer que la considération plus générale d'un système de coniques devait conduire à des résultats analogues à ceux qu'il avait rencontrés; je ne pense pas qu'il ait depuis développé cette indication et poussé plus loin cette recherche qui lui paraissait digne d'intérêt.

M. Chasies, dans un Mémoire publié dans les Comptes rendus eu i844î '^ repris cette idée en suivant une voie moins directe que celle de Jacobi et donné une représentation géométrique très élégante de l'addition des fonctions elliptiques au moyen d'un système de coniques homofocales.

Le but de cette Note est de résoudre d'une façon complète et générale la question posée par Jacobi.

§ IL — Pour abréger, je désignerai, dans ce qui suit, par puissance d'un point relativement à une courbe la valeur que prend le premier membre de l'équation de cette courbe /'(j;,j^) = o, lorsque l'on substitue aux variables les valeurs des coordonnées de

ce point. La puissance d'un point est une fonction qui ne dépend évidemment que de la forme de la courbe et de la position relative du point; la définition précédente ne la définit qu'à un facteur constant près.

§ III. — Considérons, dans un même pian, deux coniques fixes A et B. Menons à la conique  une tangente quelconque T, et soient m et [jl les deux points où cette tangente coupe la conique 13. Si la droite T se déplace en restant tangente à A, pour un déplacement infiniment petit, elle tournera autour de son point de contact t\ soient m' et jjl' les points où, dans sa nouvelle position, elle coupe la conique B. Appelons V le point de rencontre des droites mm' et [jljjl', la théorie des transversales fournit immédiatement la relation suivante où, pour abréger, j'ai écrit ds et di au lieu de mm' et [xa',

ils cia

nit.m\ \xt.\L\

D'après un théorème connu, les tangentes /?j V et [jlV sont proportionnelles aux racines cubiques des rayons de courbure r et p de la courbe aux points m et [jl; d'après le théorème de Newton sur les transversales, les segments mt et [x^ sont proportionnels aux racinrs carrées des puissances des points m et [jl relativement à la conique A; en désignant ces puissances par '^{m) et it(jJi.), on peut donc écrire la relation suivante,

ds da

§ IV. — Dans cette équation différentielle, les variables sont séparées; si nous exprimons que la droite m^- est tangente à A, nous aurons une intégrale particulière de cette équation. Mais, lorsque l'on a un faisceau de coniques a^ant quatre points communs, le rapport des puissances de deux points quelconques situés sur l'une de ces courbes par rapport à une autre courbe quelconque du faisceau est constant, quelle que soit cette dernière courbe. Donc on peut, au lieu de la conique A, considérer une quelconque des coniques qui passent par les quatre points d'intersection de A et de B; et si l'on exprime que la droite mu