L\ DÉTERMINATION DU PLAN OSCULATEUH

EN UN POINT DK CETTK COURBE.

Bulletin de la Société mathématique de France: 1873,

1. J'appellerai simplement biqiiadratiqite sphérique la courbe qui résulte de rintersection d'une sphère S et d'une surface du second ordre.

On peut aussi la considérer à un autre point de vue (*). Soit une conique quelconque K; la développable, circonscrite à cette conique et à la sphère S, touche cette sphère le long d'une courbe qui est, comme on le sait, la biquadratique sphérique. Cette développable a d'ailleurs, indépendamment de la conique K, trois autres lignes doubles K|, K2 et K3, qui sont également des coniques et qui jouent, par rapport à la courbe, exactement le même rôle.

2. Une biquadratique sphérique a seize foyers ordinaires; c'està-dire qu'il y existe quatre génératrices de la sphère de chacun des systèmes {droites isotropes), qui sont tangentes à la courbe. Leurs intersections mutuelles déterminent ses seize foyers ordinaires; il est clair d'ailleurs que, la biquadratique étant supposée

(') Voir, Bulletin de la Société philomathique, mars 1867, ma Noie Sur les courbes résultant de l'intersection d'une sphère avec une sur/ace du second ordre.

3|Â GÉOMÉTBIE.

réelle, quatre de ces foyers sont réels ei délermineDl complètement tous les autres.

Dans ce qui suit, je désignerai par F, F|, F, el Fj ces qnalre foyers réels. Les seize fovers sont aussi, comme on le Toit facilement, les points d^intersection de la sphère avec les coniques K, lmi, Ivj et Ivj.

D'où il résulle que les foyers réels peuvent être situés lous les quatre sur Tune de ces coniques, ou être distribués deux par deu\ sur deux d'entre elles ; à ce point de vue, nous distingaerons donc deux classes de biquadraliques : celles de première classe où les fojers réels appartiennent à la même conique, celles de seconde classe où ils sont répartis entre deux coniques.

3. Soit M un point de la sphère S; on sait que par ce point passent deux biquadraliques ayant pour foyers les points F, Fi, F] et F), et que ces deux courbes se coupent à angle droit.

Pour construire les tangentes en ce point, je distinguerai deux: cas :

1° Si la biquadratique est de première espèce, menons un plan par le point M et deux quelconques des foyers réels, el un second plan par ce même point el les deux autres foyers.

Cela posé, si l'on désigne par M/ et M/' les traces de ces plans sur le plan tangent à la sphère au point AI, les deux bissectrices de l'angle t'Mt sont les tangentes aux biquadratiques qui se croisent au point M.

2° Si la biquadratique est de seconde espèce, appelons F el Y ^ les foyers qui se Iroiivent sur une des coniques, F2 el Fj ceux qui se Irouvenl sur une deuxième conique, el menons respectivement des plans par le point M el les droites FF|, F2F3.

Cela posé, si Von désigne par M/ la trace du premier plan et par M/' une droite perpendiculaire à la trace du second sur le plan tangent à la sphère au point M, les deux bissectrices de V angle t'}At sont les tangentes aux deux biquadraliques qui se croisent au point M.

4. Ayant ainsi déterminé les langenles aux biquadraliques qui passent par un point de la sphère, proposons-nous de construire, pour Tune d^enlre elles, le plan osculateur.

LA BIQUADRATIQUE SPIlÉRiQUE ET LA DÉTERMINATION DU PLAN OSCULATEIR. 3]ij.

A cet effet, je rappellerai une notion géométrique dont je me suis déjà servi dans une Note Sur la détermination du rayon de courbure des lignes planesy insérée dans le Bulletin de la Société philo mathique, en février 1867.

Soient M un point de l'espace, et A|, Aj, ..., A,,^ n autres points donnés; déterminons un second point N par la relation suivante

^^ ÏViM^ mX"' • • • "^ désignent pas les inverses des longueurs MN^

MA,, ..., mais bien des quantités géométriques égales à ces «nverses en valeur absolue, et portées dans les directions des droites joignant M aux points N,* Ai, . . . , en sorte que ces quantités se composent comme des forces.

E,rk donnant plus d'extension à la dénomination bien connue due a iVf siclaurin, nous dirons que le point N, déterminé comme je viens de le dire, est le centre harmonique du point M relativement ^•^^ points A|, A2, •.., A/,.

C>n peut remarquer, à ce sujet, que, si les points M, A|, A^, ... ^^'^ t: sur une même sphère, il en sera de même du point N. >«tle définition étant admise, on a ce théorème :

n un point quelconque M dUine biquadraliquc sphérique^ ^^ /> lan osculateur passe par le centre harmonique du point M P^^9^ rapport aux quatre foyers réels de la courbe.

CDn en déduit la construction suivante :

fi,a tangente au point M ayant été déterminée, comme je l'ai <*it précédemment, par M et les foyers F et F,, faisons passer ^^ cercle sur lequel nous prendrons le point o conjugué har- ^^o nique de M par rapport à F e/ F, ; par M et les deux autres foyers faisons passer un cercle sur lequel nous prendrons le point cp' conjugué harmonique de M par rapport à ces deux foyers. Faisons enfin passer un cercle par les t/ois points M, cp ^^ <p'; le point |jl de ce cercle, conjugué harmonique de M par ^'apport à (f et cp', déterminera, ai'ec la tangente, le plan osculateur de la courbe au point M.

.iiV) GÉOXéTRIE.

5. 1^ conique sphérique est un cas particulier de la biquadc lique: les quatre fojers réels sont respectivement les poinls d^ tersection F et F,, Fj et F3 de la sphère avec les deux foca réelles du cône du second de|;ré dont elle est la base.

La construction précédente se simplifie alors un peu; en eBV

les points F et F, rtant alors diamétralement opposés, le conjug harmonique de M par rapport à ces deux poinls esl le seco point où la sphcre est rencontrée par la perpendiculaire abaissde M sur la focale FF|. La même chose a lien pour les de autres foyers.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Etant donné un point M sur une conique sphérique ^ si de point on abaisse sur les deux focales réelles de la courbe perpendiculaires rencontrant la sphère en m et ni'^ le osculateur de la courbe au point ^l passe par le conjugué h monique de ce point relativement aux points m et m'.

0. 11 est presque inutile de faire remarquer que les propositio précédentes s'appliquent aux coniques et aux courbes plan {anal la g ma tique s du quatrième ordre) qui sont les projectio n stéréographiques des biquadratiques sphériques.

Relativement à ces dernières courbes, on a le théorème suivant.'

En un point quelconque M d' une ana lia gma tique du quatrième ordre, le cercle osculateur passe par le centre harmonique du point M relativement aux quatre foyers réels de la courbe,

7. J'ajouterai quelques mots sur le problème analogue relatif aux surfaces {analtagmatiques du quatrième ordre) qui, dans Tespace, correspondent aux biquadratiques sphériques.

Ces surfaces, d'après un beau théorème dû à M. Moutard, peuvent être considérées de cinq façons diflTérenles comme Penveloppe de sphères (|ui se déplacent en coupant orthogonalemeni une sphère fixe, tandis que leur centre décrit une surface du second ordre.

Les ciiK| surfaces du second ordre au moyen desquelles on peut décrire ain^i la surface sont homofocales. Une normale menée en

LA BIQUADRATIQLE SPHERIQUE ET LA DKTEHMI.NATIOX DU PLAN OSCUI.ATEUR. Ô.>l

un poiot M de la surface anallagmatiqiie rencontre chacune de ces surfaces en deux points dont Tun est conjugué au point M. Cela poséy on a la proposition suivante :

Quand une normale à une surface anallagmatique se déplace^ le rapport anharmonique de quatre quelconques des cinq points conjugués où elle coupe les cinq sur/aces homojocales demeure constant (*).

On déduit de là, comme on le voit facilement, une construction

des rayons de courbure principaux de Tanallagmatique, en s'ap-

puyant sur celte propriété bien connue, que les normales en deux

points infiniment voisins d'une ligne de courbure sont dans un

même plan, et en employant le théorrme de Brianchon.

Mais le problème est susceptible d'une solution plus élégante ^posant sur des considérations très générales que j'ai données dans uoe Note Sur quelques propriétés des courbes algébriques ^ etc, insérée dans le Bulletin de la Société philomathique, en déoembre 1871.

^-^t-te solution se déduit de la proposition très simple qui suit, -appelons centre d'une surface anallagmatique le centre (] connix^un aux cinq surfaces du second ordre homofocales qui per- ™^tt:enide la décrire, la posé :

Vz/i/ donnée une droite quelconque MT touchant une anal- ^S'^^^atique au point M, cette tangente rencontre de nouveau ^ ^^r/ace en deux points; désignons par l le milieu de la

^^^€e joignant les centres des sphères qui touchent la surface ^ Ces points et passent par M. 5/; par le point M, on mène

^^ droite parallèle à IC, dirigée dans le même sens et de Ion- ^^^ tir double, l'extrémité de cette droite est le centre de cour-

^^^e de la section faite dans la surface par le plan normal P^^^antpar MT.

^ ) J'ai communiqué verbalement ce théorème à la Société philomathique on

*** i868, et précisément dans le but d'en déduire la construction des rayons de

^^bure principaux de ranallagmatiquc. Depuis, M. Darboux Ta obtenu de son

^^ et en a développé les principales conséquences dans un Mémoire sur ht

^^c'irfe inséré aux Annales de V Ecole normale supérieure, 1872.