MÉMOIRE SUR L4 GÉOMÉTRIE DE L4 SPHÈRE

Bulletin de la Société mathématique de France: 1873.

I. — Considérations préliminaires sur le rapport anharmoniqu^

dans le plan,

1. Je rappellerai d'abord la sîgnlticalioQ de quelques termes ^^^^ de quelques nolalioDS que j'emploierai coastammcot dans c^^^^ Mémoire.

On sait que lous les cercles Iracés dans un plan se coupent ei deux points fixes situés sur la droiie de l'infini: je les désignera»^ sous le nom d'ombilics du plan: les droites du plan, qui conver gent vers ces points, ont respectivement, si Ton suppose la figure rapportée à des axes rectangulaires^ pour coefficients angulaires -r- ' et — i.

Je désignerai les droites, dont le coefficient angulaire est -^ 1, sous le nom de r/roites isotropes du premier système: fombilic par lequel elles passent, par la lettre I. Les droites isotropes du second système ODi leur coefficient angulaire égal à — 1; elles passent toutes par le second ombilic que je désignerai par la lettre J.

i. Soit un point imaginaire a d'un plan: par ce point passent une droite isotrope du premier sv>t«>me contenant un seul point réel A et une droite isotro[>e du >ec«»nd système rontenant un seul point réel A'. Il est clair que ces deux points sont complètement déterminés par le point x. et »|ue réciproquement ce dernier e^l déterminé sans ambiguïté par les points A et A'.

Je dirai \ •> que A A est le sej;ment représentatif du point z. V étant l origine tl A' 1 extrémité de ci' serment.

' '■ ) loir iiij Noie S.'ir l'cuptoi dci imuiiinairts en Geo/netrie \.\'ju%. Ann. (/t* Matli.. 1" série, l. l\ ■.

MÉMOIRE SUR LA QKOMKTRIE DE LA SriIKRK. 353

Je rappellerai à ce sujet les deux propositions fondamentales suivantes :

Si les segments A A', BB', CC, . . . représentent des points en ligne droite, le polygone AB(!1. . . formé par les origines des segments et le polygone A'B'C. . . formé par leurs extrémités, sont semblables et imersement placés.

Etant donnés deux points imaginaires représentés par les segments AA' et BB', le carré de la distance de ces deux points est une quantité imaginaire, dont le module est le produit des longueurs AB et A'B', et dont l'argument est l'angle dont il faut faire tourner la droite AB autour du point A, le point B se mouvant sur un cercle dans le sens direct (c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre) jusqu'à ce que cette droite ^Oit parallèle à A'B' et dirigée dans le même sens.

•>• litant données deux droites D et D' situées dans un plan, J appellerai angle de la droite D ai^ec la droite D', et je dcsignt!-

^^ parla notation I)D', l'angle dont il faut faire tourner, dans le sens direct, la droite D pour (|u'elle vienne coïncider avec D'. Il ^sl clair que, cette coïncidence obtenue, une nouvelle rotation ^gale à iz ramènera de nouveau la coïncidence. L'angle de deux uroiies est donc déterminé à un multiple près de ir.

^npposons maintenant que, non seulement les droites D et D' '^^«eni données, mais encore que, sur chacune d'elles, on donne \v ^eiis dauî, lequel on doit compter les longueurs positives; j'appe!- *^ï"ai alors angle de la droite D t/rec la droite D' Tangle dont il *^*>l faire tourner la droite D dans le sens direct, jusqu'à a- T' elles coïncident et que sur chacune d'elles les longueurs posi- ^ïves soient comptées dans le même sens.

Un tel angle est évidemment déterminé à un multiple [)rr^ ^^ tîTc, et, par suite, toutes ses lignes trigonométriques sont par- *i*Uenient déterminées.

4. Étant donnés trois points A, B, D, je désignerai par la nola-

"^n BAD l'angle de la droite BA (BA étant considéré comme un ^^gment positif) avec la droite DA (DA étant également considri c ^omme un segment positif).